Banca di problemi del RMT
op162-it
|
|
Banca di problemi del RMTop162-it |
|
Trovare il più piccolo prodotto composto da fattori diversi scelti tra i numeri naturali da $1$ a $30$ la cui scrittura termina con il massimo di zeri.
Analisi a priori:
- Ricordarsi che cos’è il prodotto di più numeri (analizzando gli esempi dell’enunciato) e rendersi conto che c’è un grande numero di prodotti composti da fattori scelti tra i numeri da $1$ a $30$; prodotti di due fattori, di tre fattori, ... fino ad arrivare a $30$ fattori. Tra tutti questi prodotti sarà necessario soffermarsi solo su quelli che terminano per zero.
- Identificare i prodotti che terminano con uno zero, due zeri, tre zeri, ... (per esempio $10 \times 20 \times 30 = 6\ 000$) e chiedersi a partire dagli esempi, se si può ottenere prodotti con più zeri (per esempio moltiplicando $6\ 000$ per $5$, si trova $6\ 000 \times 5 = 30\ 000$ che ha uno zero in più).
- Proseguire con i tentativi nella ricerca dei prodotti con il più grande numero di zeri (per esempio moltiplicando $30\ 000$ per $15$ si ottiene e $30\ 000 \times 15 = 450\ 000$ che ha sempre quattro zeri, ma moltiplicando quest’ultimo per un numero pari come il $12$, si trova $450\ 000 \times 12 = 5\ 400\ 000$ che ha cinque zeri).
- Continuando allo stesso modo, fare altri tentativi e convincersi a poco a poco che è necessario utilizzare i multipli di $5$ a disposizione ($5$, $10$, $15$, $20$, $25$ e $30$) con qualche multiplo di $2$, per ottenere il prodotto più piccolo. Tra i multipli di $5$, accorgersi che $25$ moltiplicato per un multiplo di $4$ è un multiplo di $100$, che procura due zeri in più. Concludere che ci sono sette multipli di $5$ tra i numeri da $1$ a $30$ e che quindi non sarà possibile trovare prodotti che terminano con più di sette zeri.
- Moltiplicando il prodotto $5 \times 10 \times 15 \times 20 \times 25 \times 30 = 11\ 250\ 000$ per $2$, si ottiene $22\ 500\ 000$, se si moltiplica per $4$ si ottiene $45\ 000\ 000$ e per $8$ si ottiene $90\ 000\ 000$. Si devono quindi scegliere i sei multipli di $5$ con $2$ e $4$ o soltanto $8$ per ottenere $90\ 000\ 000$ che termina con sette zeri.
Oppure
- Ripensando alle proprietà della moltiplicazione (associatività e commutatività) e poi alla scomposizione di un numero in fattori primi considerare che per ottenere uno zero alla fine di un prodotto occorre che un fattore sia $10$ o che ci sia un fattore $5$ e uno $2$. Rendersi conto che prendendo come fattori tutti i multipli di $5$ tra $1$ e $30$, nella scomposizione in fattori primi del loro prodotto, si potrà ottenere un $5^7$ poiché il $5$ compare con esponente $1$ in $5$, $10$, $15$, $20$, $30$ e con esponente $2$ in $25$. Al massimo, quindi, moltiplicando numeri tra $1$ e $30$ potremo ottenere un numero con sette zeri finali a patto di avere anche, nella scomposizione in fattori primi del prodotto $2^7$. Considerare allora $5 \times 10 \times 15 \times 20 \times 25 \times 30$, osservare che $2$ compare con esponente $4$ e concludere che, per ottenere sette zeri finali, occorre ancora moltiplicare per $8$ o per $2$ e per $4$. Concludere che il prodotto vincente è $90\ 000\ 000 =$ $5 \times 10 \times 15 \times 20 \times 25 \times 30 \times 8 = 5 \times 10 \times 15 \times 20 \times 25 \times 30 \times 2 \times 4$.
numero naturale, prodotto, fattore, numerazione, base dieci, multiplo, potenza
Punti attribuiti su 270 classi di 9 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 22 (17%) | 71 (53%) | 15 (11%) | 15 (11%) | 10 (8%) | 133 | 1.4 |
| Cat 10 | 23 (17%) | 63 (46%) | 21 (15%) | 15 (11%) | 15 (11%) | 137 | 1.53 |
| Totale | 45 (17%) | 134 (50%) | 36 (13%) | 30 (11%) | 25 (9%) | 270 | 1.47 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
(c) ARMT, 2021-2024