Banque de problèmes du RMT
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Trouver la masse nécessaire de pâte pour remplir 3 petits récipients, sachant qu’il faut 1 kg pour occuper un grand récipient permettant de faire 18 gâteaux, et que chaque petit récipient permet de faire la moitié des gâteaux du grand récipient.
Voir rubrique "Tâche de résolution et savoirs mobilisés" de Gâteaux aux châtaignes (I)
- L’appropriation du problème consiste à percevoir trois grandeurs en jeu. Au nombre de gâteaux et dimensions des récipients (« moules »), s’ajoute la quantité de pâte ; qui est l’objet de la question. (Le donnée sur le nombre de gâteaux est superflue puisqu’il s’agit de traiter la relation entre la masse de pâte et les dimensions des récipients, mais on peut s’en apercevoir qu’après avoir trouvé la solution).
(Le contexte de ce problème n’est pas des plus évidents ni naturel car l’une des grandeurs, la masse de farine, est continue alors que les deux autres sont discrètes et on ne précise pas la quantité d’eau nécessaire. Les élèves doivent donc considérer que les propriétés du mélange farine – eau ne doivent pas intervenir dans la résolution.)
- La lecture des deux phrases : « chaque petit moule lui permettra de réaliser la moitié des gâteaux du grand moule » et « tous les gâteaux sont de même taille » doit permettre de comprendre que les gâteaux d’un petit moule nécessitent la moitié de la pâte nécessaire pour le grand moule. Ainsi chaque petite plaque a la même quantité de pâte, la moitié d’un kg, qui permettra de répondre à la question sur la masse de pâte nécessaire pour trois petites moules.
- Les savoirs mobilisé sont ceux d’un problèmes courant traité par passage à l’unité « sachant qu’il y a 1 kg pour 2 récipients, combien y en a-t-il dans 3 récipients de même contenance ? »
addition, soustraction, somme, multiplication lacunaire, associativité, commutativité, division, moitié, triple,
Points attribués, sur 2186 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 144 (16%) | 81 (9%) | 56 (6%) | 157 (17%) | 486 (53%) | 924 | 2.82 |
| Cat 6 | 165 (13%) | 101 (8%) | 61 (5%) | 203 (16%) | 732 (58%) | 1262 | 2.98 |
| Total | 309 (14%) | 182 (8%) | 117 (5%) | 360 (16%) | 1218 (56%) | 2186 | 2.91 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Edition provisoire
Voir problème Gâteaux aux châtaignes (I)
Par rapport à la version I, cette version II apporte une seule nouveauté : la masse de 1 kg pour la pâte et la demande Quelle quantité de farine au lieu de Combien de gâteaux qui rend superflues la donnée de 18 gâteaux. (Cette donnée n’a été reconnue explicitement « superflue » que dans une seule copie examinée, sur environ un millier de copies de sept sections CA, SI, SR, PR, PU, RZ, FC).
L’introduction d’une troisième grandeur, dont une superflue, conduit à une diversité des procédures conduisant à la réponse correcte. Mais cette donnée n’a été reconnue explicitement « superflue » que par une seule copie (de cat 6).
Procédure « directe » de la masse au nombre de plaques (sans passer par les nombres de gâteaux).
Cette procédure, la moins fréquente, consiste à calculer la masse pour 1 petit récipient : la moitié de 1 kg (ou 500 grammes, ou 0,5 kg, ou un demi kg, puis à multiplier par 3 ou ajouter un demi kg.
Exemple 1 (SR cat 5)
Un grand moule permet de faire 18 gâteaux qui utilise 1 kg de farine.
//Parce que 1 petit moule est la moitié du grand moule, on divise 1 kg de farine par 2 et ça égale 0,5 kg. Il y a 3 petits moules, elle a besoin de 1,5 kg de farine. 1 kg : 2 = 0,5 kg (farine) 0,5 kg x 3 = 1,5 kg (farine)
Exemple 2 (SI cat 6)
Procedimento
Se per riempire una teglia grande servono due teglie piccole, quindi se per una teglia grande si utilizza 1 Kg, quindi facciamo 1000 : 2 = 500 g per una teglia piccola quindi facciamo 500 g • 3 = 1500 g 1500 g = 1,5 Kg
Risposta: Simone deve usare 1,5 Kg di farina per riempire 3 teglie piccole.
Procédures qui font intervenir les nombres de gâteaux
Elles sont les plus fréquentes. La grandeur superflue « nombre de gâteaux » peut aider les élèves à s’approprier la situation, en particulier pour une représenter les moules et de leur contenu par des dessins permettant facilement de trouver les 9 gâteaux du petit moule avant de s’appuyer sur le rapport de 18 à 9 pour comprendre que la pâte pour 9 gâteaux est la moitié de la pâte pour 18 gâteaux et en déduire que la pâte d’un petit moule est 500 grammes ou un demi kg ou 0,5 kg.
Exemple 3 (SI cat 6)
Risposta. le teglie piccole devono essere tre abbiamo fatto 18 : 2 e il risultato per 3. Con il risultato di questa operazione abbiamo trovato il numero dei dolcetti totale che sono 27 e che in ogni teglia piccola ci sono 9 dolcetti perché abbiamo fatto 27 – 18 = 9. Avendo trovato il numero dei dolcetti totale abbiamo calcolato che per 18 dolcetti serviva 1 kg di farina e visto che sarebbe avanzato 9 dolcetti abbiamo diviso 1 kg di farina per 2 e l’abbiamo sommato a un kg di farina.
Trad. Nous avons vu qu'un petit moule contenait la moitié des gâteaux qui se trouvaient dans le grand moule Étant donné qu'il y a 18 gâteaux dans le grand moule et qu'il doit y avoir trois petits moules, nous avons calculé 18 : 2 et le résultat multiplié par 3. Avec le résultat de cette opération nous avons trouvé le nombre total de gâteaux qui sont 27 et que dans chaque petit moule il y a 9 gâteaux car nous avons fait 27 – 18 = 9. Après avoir trouvé le nombre total de gâteaux nous avons calculé que pour 18 gâteaux il nous fallait 1 kg de farine et comme il resterait 9 gâteaux nous avons divisé 1 kg de farine par 2 et nous avons ajouté à un kg de farine.
Dans cet exemple les élèves sont allés jusqu’au calcul des 27 gâteaux des trois petites plaques, avant de passer à la masse de la pâte (avec soustractions).
L’utilisation d’un tableau de proportionnalité est une exception parmi les centaines de copies examinées. Nous la signalons ici car les élèves citent les deux grandeurs, semblent percevoir qu’elles peuvent prendre plusieurs valeurs (colonnes vides) et utilisent consciemment les propriétés multiplicatives ( x 3 et : 2) entre termes correspondants de chacune des deux grandeurs proportionnelles. (Voir rubrique Exploitations didactiques)
Les erreurs
Comme pour la version précédente, l’erreur la plus fréquente consiste à diviser par 3 le contenu du grand moule
Exemple 4 (SI cat 5)
18 : 3 = 6 1 : 6 = 0,16 kg. Ragionamento Abbiamo trovato il risultato dividendo il numero di dolcetti fatti da Sara le teglie di Simone che a dato come risultato 6. Abbiamo diviso 1 kg per i 6 posti delle 3 teglie di Simone. per ogni piccola-teglia servono 0,16 kg di farina.
L’introduction de la troisième grandeur rend le contexte plus complexe et par conséquent apparaissent quelques feuilles blanches ou des réponses du genre nous n’avons pas compris le problème mais l’effet le plus fréquent est l’incitation à calculer la masse de pâte par gâteau, comme un passage par l’unité : diviser les 1 kg de pâte par 18 et trouver une approximation que les élèves de ces catégories sont encore incapables de gérer.
Exemple 5 (SI cat 6)
DATI 1 kg di farina di castagne e acque = 18 dolcetti = una teglia grande. 18 dolcetti = una teglia grande = 1 kg 9 dolcetti = una teglia piccola = 1 kg
RISPOSTA Operazione 18 : 2 = 9 1 teglia piccola = 9 dolcetti
//1000 g = 1 kg 1000 g:2 = 500 g (piccola teglia) 300 x 3 = 1500 g (Farina necessaria per 3 teglie piccole 1500 : 27 = 56 g Massa di un dolcetto) 56 x 9 = 504 9 : 3 = 3 504 x 3 = 1512 g. Ci siamo arrivati sapendo che in un 1 kg di farina faceva 18 dolcetti e riempiva une teglia grande è la meta è une teglia piccola ovvero 9. Se si divide per 3 si può al risultato ; 1512 g.
Dans cet exemple les élèves se sont arrêtés aux 9 gâteaux d’une des petites plaques, avant de passer à la masse de la pâte ; mais arrivés à 1500 grammes, ils se sont référés aux 27 gâteaux pour déterminer la masse de chacun (avec une approximation à 56 grammes) et donner une seconde réponse (1512 grammes) par deux multiplications, par 3.
Ici, il ne s’agit pas vraiment d’une erreur, mais d’une imprécision ou d’une inattention à la différence entre 1500 et 1512 grammes.
Le plus souvent, la division de 1000 grammes par 18 donne une approximation de 15,5 ou 15,55 dont les élèves ne savent que faire (sauf dans un cas où ils ont utilisé une calculatrice qui leur donnait 1000 : 18 = 55,555… dont ils ont conservé l’approximation 55,55 qu’ils ont ensuite multiplié par 27 pour obtenir 1499,85 puis arrondi à 1500).
Le problème n’a pas de grand intérêt pour une exploitation didactique car le rapport de proportionnalité n’est pas perçu et les opérations se limitent è une division par 2 pour prendre la moitié (de la pâte ou des gâteaux. Suivie d’une multiplication par 3.
En revanche, certaines copies peuvent susciter des interrogations sur la nature des relations mises en évidence.
Dans l’exemple 4 qui précède, la division par 2 précède la multiplication par 3 comme dans la totalité des copies examinées. On peut légitimement penser que les élèves ne sont pas conscients de la commutativité des deux opérations.
Les opérations relevées sont « internes » à chacune des grandeurs : divisions par 2 entre les nombres de gâteaux suivies de multiplication par 3, reproduites sur les nombres de plaques ou sur les masses de pâte.
On n’a pas observé de liens explicites entre la valeur de la masse de pâte et la valeur correspondante du nombre de gâteaux (ou du nombre de plaques), qui est le coefficient de proportionnalité entre les deux grandeurs : 3/2 ou 2/3. C’est aussi un indice significatif de la nature des relations et de la perception de la « proportionnalité ».
(c) ARMT, 2022-2024