Echanges de billes

Identification

Rallye: 29.F.15 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: OPN
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• ECH - Effectuer des échanges

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Résumé

Répartir 76 objets en « groupements équivalents » puis en « groupements de groupements équivalents » pour aboutir à un objet isolé, 4 groupements et 3 groupements de groupements.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Extraits de l'analyse de la tâche a priori:

- Comprendre qu’il y a 2 échanges successifs et qu’à chaque niveau d’échange, le même nombre de petites billes (ou de billes moyennes) est échangé contre une bille moyenne (ou une grosse bille), et comprendre qu’à chaque niveau, on échange le plus possible d’objets.

- Déduire que comme il reste 1 petite bille à la fin, 75 billes seront échangées contre 3 grosses billes et 4 billes moyennes.

- Procéder par essais organisés à l'aide de tableaux.

- Ou par la voie algébrique : Appeler p (p > 1) le nombre de petites billes nécessaires pour obtenir une bille moyenne et m (m > 4) le nombre de billes moyennes pour obtenir une grosse bille, en déduire que pour obtenir une grosse bille il faut mp petites billes et donc que 3 mp + 4 m = 75. Trouver l'unique solution entière par essais sur p ( 7)et en déduire m ou vice versa faire des essais sur m et en déduire p.

Notions mathématiques

nombre naturel, échange, substitution, décomposition, produit, division euclidienne, équation

Résultats

29.F.15

Points attribués, sur 100 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori:

• 4 points: Réponse correcte (« 3 petites billes contre une bille moyenne » et « 7 billes moyennes contre une grosse bille») avec des explications claires et complètes.
• 3 points: Réponse correcte avec des explications partielles ou peu claires (essais inorganisés par exemple ou non exhaustifs),
  ou réponse fausse due à une erreur de calcul, avec des explications claires et complètes
• 2 points: Réponse correcte sans explication, mais juste une vérification,
  ou réponse compatible avec l’énoncé pour l’échange « petites billes – bille moyenne » (« 3 petites billes contre une bille moyenne » ou « 5 petites billes contre une bille moyenne »
  ou « 15 petites billes contre une bille moyenne ») avec des explications complètes ou partielles.
• 1 point: Début de recherche cohérente, par exemple : essais de couples pour les échanges, ou déductions du fait que 75 petites billes sont échangées contre 3 grosses billes et 4 billes moyennes
  ou réponse correcte sans aucune explication ni vérification
• 0 point: Incompréhension du problème.