Carré magique

Identification

Rallye: 29.F.20 ; catégories: 9, 10 ; domaine: OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• TBN - Compléter un tableau de nombres

Remarque et suggestion

Résumé

Dans un carré magique d'ordre 4 où trois nombres sont déjà écrits sur une ligne et trois nombres sur une autre, déduire la valeur (34) de la somme constante des éléments situés sur n'importe quelle ligne, colonne ou diagonale et le compléter de sorte que tous les nombres de 1 à 16 figurent dans ses cases.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

C- Comprendre que pour compléter le carré, il faut placer tous les nombres de 1 à 16 de façon à ce que la somme soit constante sur les lignes, les colonnes et les diagonales et que chacun d'eux n'apparaisse qu'une seule fois.

- Comprendre que cette constante est obtenue en divisant la somme totale des nombres de 1 à 16 par 4 ; en déduire que cette constante vaut 34.

- Observer les deux premières lignes et les compléter (la première avec 1, la deuxième avec 8).

- Une fois la deuxième ligne terminée, continuer à essayer de compléter une des colonnes ou une diagonale.

On peut procéder de plusieurs manières :

- Par exemple, remarquer que la somme des nombres sur deux colonnes (la deuxième et la quatrième) est 9 tandis que sur les deux autres, elle est 25. Commencer à remplir les colonnes ayant la plus grande somme. Dans celles-ci, pour arriver à 34, il faut ajouter deux nombres dont la somme soit 9 : 7 + 2 ou 5 + 4 (6 + 3 et 8 + 1 ne sont pas possibles parce que 6, 3, 1 et 8 ont déjà été utilisés). Se rendre compte que dans la troisième colonne, il ne peut y avoir (7, 2) ni (2, 7) parce que, pour compléter la diagonale principale, dans le premier cas il devrait y avoir 12 (qui a déjà été utilisé), et dans le second cas 17 (mais ce nombre n’est pas autorisé).

- Conclure que les deux nombres à ajouter dans la troisième colonne sont 5 et 4. Vérifier qu'ils doivent être dans cet ordre car sinon la diagonale principale devrait être complétée par 15 qui est déjà utilisé.

- Trouver ensuite le nombre manquant sur la diagonale principale (14) puis compléter la quatrième colonne par 11. Il reste quatre nombres à placer (2, 7, 9 et 16) ; dans la deuxième colonne, il manque 25 pour obtenir la constante 34 : 25 ne peut être obtenu que par 16 et 9 et 16 ne peut pas être sur la quatrième ligne sinon on ne peut pas compléter cette quatrième ligne de façon à obtenir 34 ; 16 est donc sur la troisième ligne de la deuxième colonne.

- On peut alors compléter le carré : 9 en ligne 4, colonne 2 ; puis 2 en ligne 3, colonne 1 ; et enfin 7 en ligne 4, colonne 1. …

Dans tous les cas, compléter le carré comme indiqué ci-dessous :

Notions mathématiques

nombre naturel, carré magique, somme, addition

Résultats

29.F.20

Points attribués, sur 37 classes de 9 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori:

• 4 points: Carré correctement rempli, avec une explication détaillée de la procédure suivie qui montre l’unicité de la solution.
• 3 points: Carré correctement rempli avec seulement quelques étapes expliquées, mais l'unicité de la solution n'est pas mise en évidence.
• 2 points: Carré correctement rempli sans aucune explication,
  ou début de résolution : 4 nouvelles cases remplies correctement avec explication.
• 1 point: Début de résolution : la valeur 34 est identifiée et quelques tentatives en tenant compte des sommes des nombres manquants sur les différentes lignes (lignes, colonnes, diagonales).
• 0 point: Incompréhension du problème.

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