Quadrato magico

Identificazione

Rally: 29.F.20 ; categorie: 9, 10 ; ambito: OPN
Famiglie:

• ADD - Cercare una somma o una differenza di numeri
• TBN - Completare una tabella di numeri

Remarque et suggestion

Sunto

In un quadrato magico di ordine 4 in cui sono già stati scritti tre numeri su una riga e tre numeri su un’altra, ricavare il valore (34) della somma costante degli elementi su una qualunque riga, colonna o diagonale e completarlo in modo che nelle caselle figurino tutti i numeri da 1 a 16.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi del compito a priori:

- Comprendere che per completare il quadrato occorre inserire tutti i numeri da 1 a 16 in modo che sia costante la somma sulle righe, colonne e diagonali e che ciascuno di essi compaia una sola volta.

- Comprendere che questo valore costante si ottiene dividendo per 4 la somma totale dei numeri da 1 a 16; ricavare che è 34.

- Osservare le prime due righe e completarle (la prima con 1, la seconda con 8).

- Una volta terminata la seconda riga, continuare a cercare di completare una delle colonne o una diagonale.

Ci sono diversi modi per farlo:

- Ad esempio, notare che la somma dei numeri su due colonne (la seconda e la quarta) è 9 mentre sulle altre due, è 25. Iniziare a riempire le colonne con la somma più grande. In queste colonne, per arrivare a 34, è necessario aggiungere due numeri, la cui somma sia 9: 7 + 2 o 5 + 4 (6 + 3 e 8 + 1 non sono possibili perché 6, 3, 1 e 8 sono già stati utilizzati). Rendersi conto che nella terza colonna non si può avere (7, 2) né (2, 7) perché, per completare la diagonale principale, nel primo caso si dovrebbe usare 12 (che è già stato utilizzato), e nel secondo caso 17 (ma questo numero non è consentito).

- Concludere che i due numeri da aggiungere nella terza colonna sono 5 e 4. Controllare che devono essere in questo ordine perché altrimenti la diagonale principale dovrebbe essere completata con 5 che è già utilizzato.

- Trovare poi il numero mancante sulla diagonale principale (14) e quindi completare la quarta colonna con 11. Restano quattro numeri da posizionare (2, 7, 9 e 16); nella seconda colonna, manca 25 per ottenere la costante 34. Il 25 può essere ottenuto solo da 16 e 9, ma il 16 non può stare sulla quarta riga perché altrimenti non sarebbe possibile completarla per ottenere 34; 16 si trova quindi sulla terza riga della seconda colonna.

- Il quadrato può quindi essere completato con: il 9 nella riga 4, colonna 2; poi il 2 nella riga 3, colonna 1; infine il 7 nella riga 4, colonna 1.

...

In ogni caso, completare il quadrato come mostrato di seguito:

Nozioni matematiche

numero naturale, quadrato magico, somma, addizione

Risultati

30.I.09

Punteggi attribuiti, su 37 classi di 9 sezioni:

Secondo i criteri determinati nell’analisi a priori :

• 4 punti: Quadrato completato correttamente, con spiegazione dettagliata della procedura seguita che mostra l'unicità della soluzione
• 3 punti: Quadrato completato correttamente con solo qualche passaggio spiegato, ma senza evidenziare l'unicità della soluzione
• 2 punti: Quadrato completato correttamente senza alcuna spiegazione
  oppure inizio di risoluzione: 4 nuove caselle riempite correttamente con spiegazione
• 1 punto: Inizio di risoluzione: identificato il valore 34 e fatti alcuni tentativi che tengono conto delle somme dei numeri mancanti su righe, colonne e diagonali
• 0 punto: Incomprensione del problema

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