Banque de problèmes du RMT
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Décomposer 40 en somme de cinq nombres dont trois sont égaux et les deux autres valant chacun dix de plus que les trois premiers.
- Traduire la situation décrite par l’énoncé en termes d’opérations sur les nombres : somme de cinq termes, dont deux valent 10 de plus que les trois autres, dont la somme est 40.
- Organiser la recherche des nombres, soit par essais au hasard, soit par essais organisés, soit par des opérations arithmétiques en commençant par soustraire 20 de la somme, 40, puis diviser le résultat (20) par 5.
- Les savoirs mobilisés sont l’addition pour les essais, et la soustraction, la division ou multiplication lacunaire, sur des nombres naturels inférieurs à 50.
somme, addition, termes, décomposition
Points attribués sur 189 classes de 16 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 18 (30%) | 10 (16%) | 7 (11%) | 8 (13%) | 18 (30%) | 61 | 1.97 |
| Cat 4 | 2 (3%) | 8 (12%) | 5 (7%) | 11 (16%) | 42 (62%) | 68 | 3.22 |
| Cat 5 | 1 (2%) | 6 (10%) | 4 (7%) | 11 (18%) | 38 (63%) | 60 | 3.32 |
| Total | 21 (11%) | 24 (13%) | 16 (8%) | 30 (16%) | 98 (52%) | 189 | 2.85 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Ce problème est repris de C'est le printemps (22.II.04), lui-même repris de Les jetons (09.F.01)
On constate à nouveau une évolution significative des procédures de résolution de la catégorie 3 à la catégorie 5.
Pour des finalistes, de catégories 4 et 5, la réussite est quasi totale; par calcul mental, par essais et vérification ou par les opérations explicites.
Pour une reprise en classe, les propositions de la fiche C'est le printemps (22.II.04) sont toujours valables:
Problème caractéristique (et très fréquent parmi ceux du RMT) de décomposition d’un nombre (40) en somme de termes (5) encore à déterminer, dont on donne une relation entre eux (+10).
Les jeunes élèves, qui n’ont encore aucune notion d’algèbre, peuvent procéder par essais successifs. Il est alors intéressant de débattre de l’organisation de ces essais afin d'en limiter le nombre.
S’ils procèdent par un raisonnement déductif qui prend déjà en compte la relation entre les différents termes (+10) ils s’approchent du modèle algébrique car ils font intervenir un nombre momentanément indéterminé.
L’intérêt est alors de faire expliciter ces termes. Par exemple : « trois petits nombres et deux qui valent 10 de plus c’est comme 5 petits nombres et deux fois 10, ou 20 …» ce qui permet de faire intervenir le complément de 20 à 40 puis une division par 4 pour arriver à trouver que les trois petits nombres sont 4 et les grands 14. L’intérêt didactique du problème est de comparer les deux procédures, leurs avantages et leurs inconvénients.
On peut aussi profiter de l’occasion pour comparer les différents écritures, exclusivement additives ou avec l’apparition de multiplications, pour en faire observer les propriétés (associativité, commutativité, distributivité – évidemment sans utiliser ces termes).