Banca di problemi del RMT
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Applicare efficacemente l'algoritmo della “divisione per 7 con resto”, operazioni di moltiplicazione, addizione e sottrazione, riconoscere i multipli di 7.
Saperi mobilizzati
Applicare efficacemente l'algoritmo di “divisione per 7 con resto”, operazioni di moltiplicazione, addizione e sottrazione, riconoscere i multipli di 7.
Analisi del compito
1. Colorazione della tabella
- Rendersi conto che i numeri il cui resto è 0 quando li si divide per 7, sono 0, 7, 14, … cioè i multipli di 7!
- Trovare i numeri il cui resto è 1 quando li si divide per 7 senza effettuare tentativi applicando l'algoritmo, ma facendo riferimento a numeri che sono “uno di più di un multiplo di 7”, ecc.
- Veder comparire regolarità nella colorazione e prendere coscienza che i sette colori bastano per colorare tutti i numeri della tabella e i successivi.
2. Determinazione del colore della somma di un "numero giallo" e di un "numero verde"
- Scegliere un numero giallo e un numero verde come Giuseppe e Maria, poi addizionarli. Ricominciare con altre scelte per arrivare alla convinzione che la somma è sempre un numero “indaco” e che è Anna Maria che sembra aver ragione.
- Provare a esprimere una ragione per questa convinzione nascente, ad esempio dall’addizione dei due primi numeri giallo e verde (2 e 3) la cui somma è un numero “indaco” (5). (Terzo compito, che non può essere una dimostrazione formale a causa dell’età degli allievi, ma la necessità di persuadersi del fatto che "funziona per qualsiasi scelta dei due numeri, giallo e verde).
numero naturale, aritmetica, addizione, moltiplicazione, multiplo, divisione, resto, algoritmo,
Punteggi attribuiti, su 3324 classi di 20 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 264 (33%) | 142 (18%) | 192 (24%) | 116 (14%) | 89 (11%) | 803 | 1.53 |
| Cat 6 | 508 (39%) | 232 (18%) | 255 (20%) | 191 (15%) | 104 (8%) | 1290 | 1.34 |
| Cat 7 | 415 (34%) | 200 (16%) | 274 (22%) | 195 (16%) | 147 (12%) | 1231 | 1.56 |
| Totale | 1187 (36%) | 574 (17%) | 721 (22%) | 502 (15%) | 340 (10%) | 3324 | 1.47 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
L'analisi a posteriori dei 486 elaborati della sezione di Siena descritti nell'articolo “A proposito di divisione euclidea” (Vedi Bibliografia) rivela notevoli ostacoli per la semplice colorazione delle caselle. Se la stragrande maggioranza degli elaborati mostra padronanza dell'algoritmo della divisione con resto, questo viene applicato a tutti i numeri, meccanicamente, senza prima pensare che dividendo un multiplo di 7 per 7 si ottiene un resto di 0. Per convincersene, in genere sono necessarie numerose applicazioni dell'algoritmo.
Se i multipli di 7 vengono riconosciuti come numeri con resto pari a 0, restano i dubbi per i numeri che danno resto pari a 1.
Esempio 1: (cat 6) Siamo partiti con il colore rosso per ottenere i colorati al rosso. Basta colorare i multipli di 7. Per trovare l’arancione abbiamo diviso per 7 i numeri che venivano dopo quelli colorati di rosso e tutti sono risultati con il resto di uno. Per trovare i numeri gialli abbiamo diviso per 7 i numeri che venivano dopo quelli colorati di arancione e tutti sono risultati con il resto di 2. (e stesse frasi si ripetono per i colori successivi).
L'osservazione della colorazione degli elaborati di SI, rispettivamente quelli di cat. 5, 6 e 7, ci permette di sapere se gli allievi sanno trovare il resto di una divisione per 7.
a) 43%, 28% e 25% delle tabelle colorate correttamente e completamente
b) 35%, 28% e 27% dove le caselle da 0 a 6 sono rimaste bianche
c) Errori di colorazione 11%, 20% e 19
d) 12%, 28% e 29% tabelle bianche o con solo poche caselle colorate
Circa il 30% dei gruppi non trova il resto per i numeri inferiori a 7, perché l'algoritmo utilizzato non "funziona".
Per la seconda parte del problema sul colore di un numero che è la somma di un "numero giallo" e di un "numero verde" notiamo:
e) risposte errate, dovute ad un'incomprensione della domanda o all'assenza di dati
Esempio 3 (cat. 5) … Abbiamo sommato i numeri maggiori di 50 in tutti i modi possibili. I risultati li abbiamo divisi per 7 e abbiamo visto che i numeri erano gialli e arancione, quindi sia Clara e sia Francesco hanno ragione.
Esempio 4 (cat. 7) Secondo noi, Ha ragione Clara perché non ci sono dati che lo possono dimostrare.
f) Risposte corrette a partire da una sola scelta
Sono molto frequenti, in ogni categoria.
Exemple 5 (cat 5): … Abbiamo anche i numeri di Giuseppe e Maria. Quello di Giuseppe è il 51 perché ha il resto di 2 che è uguale al colore giallo. Invece il numero di Maria è il 52 perché il resto è 3 ed è il colore verde. Sommando insieme fanno 103 e dividendolo per 7 il resto di 5 che è il colore indaco. Infatti ha ragione Anna Maria.
Esempio 6 (cat 7):
Secondo noi il numero scelto da Giuseppe è il 51 dato che è un numero colorato di giallo e dopo il 50. Il numero scelto da Maria è il 52 dato che è un numero colorato di verde. Quindi sommando questi due numeri si ottiene il numero 103 e per trovare il colore di questo numero ho continuato a costruire la tabella. Alla fine si ottiene che il numero 103 è colorati di indaco e quindi ha ragione Anna Maria.
(Gli autori del problema intendevano incoraggiare gli allievi ad andare oltre le prime linee della tabella scegliendo un numero più grande di 50. A questo proposito, bisognerà modificare leggermente questa affermazione evitando di dare un limite preciso. Per esempio : « Giuseppe e Maria hanno prolungato la tabella aggiungendovi un grande numero di linee. Giuseppe vi sceglie un numero giallo, Maria vi sceglie un numero verde che non è vicino al numero di Giuseppe. Addizionano i due numeri… ».)
g) Risposte corrette ottenute a partire da più scelte
Esempio 7 (Cat 5) : Inizialmente, abbiamo colorato la scheda in base alle indicazioni date. Successivamente abbiamo riletto la parte inferiore del testo, quella sotto la tabella. Poi abbiamo fatto 51 + 52 (i primi numeri più grandi di 50) = 103. 103 : 7 resto 5 = colore indaco. Per essere più sicuri abbiamo fatto un altro tentativo 58 + 59 (i secondi numeri più grandi di 50) gialli e verdi) = 117. 117 : 7 , 16, reste 5.
C’è qui un passo importante per l’acquisizione di «certezza» ! Questi allievi hanno percepito la famiglia, anche scegliendo due numeri che si susseguono e sono capaci. Cosa potremmo chiedere di più, come verifica, in categoria 5?
h) Oltre le verifiche, le spiegazioni
Esempio 8 (Cat 5): … Per scoprire chi aveva ragione abbiamo fatto a tentativi per esempio 51 + 52 che fa 103 e ci siamo accorte che era indaco Abbiamo continuato a fare a tentativi e ci veniva sempre indaco. Però ci siamo accorte anche che se si somma il resto del giallo, cioè 2 e il resto del verde 3 si ottiene 5 che è il numero dalla posizione dell’indaco.
Esempio 9 (Cat 7): Secondo noi ha ragione Anna Maria perché se Giuseppe ha scelto un numero giallo vuol dire che il suo resto à 2 e se Anna Maria ha scelto un numero verde vuol dire che il resto è tre. Facendo la somma dei 2 resti sappiamo che il risultato è uguale al resto di tutti i colori indaco.
La divisione con resto, o divisione euclidea (in omaggio a Euclide che pone le basi dell'aritmetica nei suoi Elementi) è un concetto chiave nella costruzione della rete di relazioni tra i numeri naturali. Si tratta di una procedura di calcolo che, a due interi naturali chiamati dividendo (D) e divisore (d), associa altri due interi chiamati quoziente (q) e resto (r) tali che D = d × q + r con r < d.
Gli allievi conoscono una disposizione di questi quattro numeri e le regole di calcolo per trovare il quoziente e il resto: l'algoritmo della divisione con resto, che è un procedimento "meccanico" che non erano in grado di comprendere al momento in cui è stato loro insegnato. (Lo dimostra il fatto che il 30% di loro non riesce a trovare il resto della divisione per 7 dei numeri da 0 a 6). È quindi necessario ripassare con loro le operazioni che collegano i quattro numeri: sottrazioni successive nell'algoritmo e, in sostanza, una moltiplicazione per esprimere i "multipli" del divisore e un'addizione per sommare il resto: tutti i multipli di 7 si scrivono sotto forma di prodotto di 7 per un numero che è il quoziente (intero). (D = 7 x q), i numeri che sono 1, 2, 3, 4, 5 o 6 superiori a un multiplo di 7 vengono scritti aggiungendo 1, 2, 3, 4, 5 o 6 al prodotto precedente. Ad esempio 28 = 7 x 4 + 0 (ci asteniamo dallo scrivere lo 0) 29 = 7 x 4 + 1, 30 = 7 x 4 + 2; ...
Questi scritti devono comparire nella fase di condivisione o nella fase di istituzionalizzazione, per poi essere praticati sistematicamente nella fase successiva, da ogni allieve individualmente. Vedere la figura nella sezione successiva “Per andare più lontano”.
La risposta “La somma di un ‘numero giallo’ e di un ‘numero verde’ è un numero ‘indaco’ non è ovviamente solo un caso particolare della situazione ed è insufficiente se si desidera che l’attività Arcobaleno assuma lo statuto di “problema”, cioè permetta agli allievi del gruppo di progredire nella costruzione delle relazioni tra la ricerca del resto di una divisione per 7 e sette famiglie “multipli di sette”, “numeri che valgono 1 più un multiplo di 7”, numeri che valgono 2 più un multiplo di 7”…
È necessario che ogni allievo “vada più lontano” mettendo in evidenza con chiarezza le sette famiglie e passando alla scrittura aritmetica della divisione euclidea che, paradossalmente non fa intervenire i simboli di divisione ma quelli della moltiplicazione e dell’addizione.
Esempi di attività per un percorso didattico con la classe
Da sperimentare in classe, secondo le modalità stabilite dall'insegnante; con trasmissione di una descrizione e commenti per rendere conto dell’opportunità di proporre l’attività per la costruzione di saperi (indicati in corsivo).
a) Ogni persona costruisce una tabella completa delle 7 famiglie, con le notazioni aritmetiche (secondo il modello dell'insegnante o una rappresentazione personale). È preferibile una disposizione a 7 colonne, come nell'esempio seguente:
È la ripetizione dei numeri e delle loro scomposizioni in questa tabella che deve far “apparire” le regolarità dei resti e dei quozienti interi.
b) Far costruire un'altra tabella completa per i resti della divisione per 10
Scopriamo o riscopriamo i numeri che terminano con 0, 1, 2, … 9 che sono le cifre unità!!)
c) Oltre alla divisione euclidea (nell'insieme dei numeri naturali), possiamo passare alla divisione per 7 e calcolare i quozienti con le loro approssimazioni tramite numeri decimali (calcolati uno a uno e controllati sulla calcolatrice).
Scoprire che le approssimazioni delle frazioni con denominatore 7 sono scritture decimali in cui le sei cifre (1, 4, 2, 8, 5, 7) compaiono sempre dopo la virgola!
Comprendere che ci sono solo 6 resti diversi da 0 in una divisione euclidea per 7
d) Altri esempi di domande sulla somma di due numeri:
- Di che colore sarà la somma di due numeri rossi?
- Se sommiamo un numero giallo e un numero di un altro colore, possiamo ottenere un numero rosso?
- Di che colore sarà la somma di un numero blu e un numero indaco?