Banca di problemi del RMT
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ArcobalenoIdentificazioneRally: 31.II.10 ; categorie: 5, 6, 7 ; ambito: OPNFamiglie:
Envoyer une remarque ou une suggestion SuntoSuddividere l'insieme dei numeri naturali in sette sottoinsiemi di numeri che, tramite la «divisione» per 7, danno resti pari a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Enunciato Compito per la risoluzione e saperi mobilizzatiSaperi mobilizzati Applicare efficacemente l'algoritmo di “divisione per 7 con resto”, operazioni di moltiplicazione, addizione e sottrazione, riconoscere i multipli di 7, acquisire consapevolezza della regolarità ricorsiva. Analisi del compito 1. Colorazione della tabella 1. Colorazione della tabella - Rendersi conto che i numeri il cui resto è 0 quando li si divide per 7, sono 0, 7, 14, … cioè i multipli di 7! - Trovare i numeri il cui resto è 1 quando li si divide per 7 senza effettuare tentativi applicando l'algoritmo, ma facendo riferimento a numeri che sono “uno di più di un multiplo di 7”, ecc. senza effettuare calcoli. - Veder comparire regolarità nella colorazione e prendere coscienza che i sette colori bastano per colorare tutti i numeri della tabella e i successivi.  2. Determinazione del colore della somma di un "numero giallo" e di un "numero verde" - Scegliere un numero giallo e un numero verde come Giuseppe e Maria, poi addizionarli. Ricominciare con altre scelte per arrivare alla convinzione che la somma è sempre un numero “indaco” e che è Anna Maria che sembra aver ragione. - Provare a esprimere una ragione per questa convinzione nascente, ad esempio dall’addizione dei due primi numeri giallo e verde (2 e 3) la cui somma è un numero “indaco” (5). (Terzo compito, che non può essere una dimostrazione formale a causa dell’età degli allievi, ma la necessità di persuadersi del fatto che "funziona per qualsiasi scelta dei due numeri, giallo e verde). Nozioni matematichenumero naturale, aritmetica, addizione, moltiplicazione, multiplo, divisione, resto, algoritmo, aritmetica modulare Risultati31.II.10Punteggi attribuiti, su 3324 classi di 20 sezioni:
Procedure, ostacoli ed errori rilevatiL'analisi a posteriori dei 486 elaborati della sezione di Siena descritti nell'articolo “A proposito di divisione euclidea” (Vedi Bibliografia) rivela notevoli ostacoli per la semplice colorazione delle caselle. Se la stragrande maggioranza degli elaborati mostra padronanza dell'algoritmo della divisione con resto, questo viene applicato a tutti i numeri, meccanicamente, senza prima pensare che, dividendo un multiplo di 7 per 7, si ottiene un resto di 0. Per convincersene, in genere sono necessarie numerose applicazioni dell'algoritmo. (Si veda a tale proposito l’introduzione della sotto-famiglia MUL - Moltiplicare numeri naturali ed effettuare divisioni con resto) Se i multipli di 7 vengono riconosciuti come numeri con resto pari a 0, restano i dubbi per i numeri che danno resto pari a 1. Esempio 1: (cat 6) Siamo partiti con il colore rosso per ottenere i colorati al rosso. Basta colorare i multipli di 7. Per trovare l’arancione abbiamo diviso per 7 i numeri che venivano dopo quelli colorati di rosso e tutti sono risultati con il resto di uno. Per trovare i numeri gialli abbiamo diviso per 7 i numeri che venivano dopo quelli colorati di arancione e tutti sono risultati con il resto di 2. (e stesse frasi si ripetono per i colori successivi). L'osservazione della colorazione degli elaborati di SI, rispettivamente quelli di cat. 5, 6 e 7, ci permette di sapere se gli allievi sanno trovare il resto di una divisione per 7. a) 43%, 28% e 25% delle tabelle colorate correttamente e completamente b) 35%, 28% e 27% dove le caselle da 0 a 6 sono rimaste bianche Questo dato ci fa pensare che circa il 30% dei gruppi non trovino (o meglio non cerchino) il resto per i numeri inferiori a 7 poiché l’algoritmo utilizzato «non funziona». Tale constatazione è stata riscontrata in tutte le sperimentazioni in classe ed anche presso adulti che hanno cercato di risolvere il problema. Esempio 2 :  c) Errori di colorazione 11%, 20% e 19% Ces colorations "non conformes" sont très différentes les unes des autres. L'une a cependant été observée plusieurs fois lors de la première analyse a posteriori après l'épreuve sans pouvoir alors en percevoir les raisons. Il s'agit d'une "inversion des couleurs" de indigo à orange, au lieu d'orange à indigo. Elle a été retrouvée lors de l'expérimentation dans deux copies de la classe de A. Mecacci Esempio 3. (cat. 5) nuova imagine da inserire Commentaires de l'enseignante, qui illustrent les apports des élèves lors d'une exploitation d'un problème en classe. : //Due elaborati presentano i colori della griglia completamente invertiti. Dalla riflessione collettiva fatta il giorno successivo e dall’osservazione sugli scritti dei quaderni personali, emergono queste considerazioni: - “1 è viola perché 7- 6 fa 1, il 2 è indaco perché 7-5 fa 2...” ecc. Non è stato semplice per me (l’insegnante) comprendere l’errore; poi ascoltando le loro spiegazioni ho capito che il problema nasceva dall’incomprensione delle frasi riguardanti il resto della divisione. Per loro il resto era quello di una sottrazione. Esempio: se da 7 tolgo 6, di resto trovo 1, perciò 1 è violetto. Se da 7 tolgo 5, di resto trovo il 2 che sarà indaco ecc. Quante cose su cui lavorare! È in questi casi che l’insegnante impara dai suoi allievi e tramite i loro errori può programmare davvero un’azione didattica efficace. Questo dato era decisamente inaspettato. d) 12%, 28% e 29% tabelle bianche o con solo poche caselle colorate Per la seconda parte del problema sul colore di un numero che è la somma di un "numero giallo" e di un "numero verde" notiamo: e) risposte errate, dovute ad un'incomprensione della domanda o all'assenza di dati Esempio 4 (cat. 5) … Abbiamo sommato i numeri maggiori di 50 in tutti i modi possibili. I risultati li abbiamo divisi per 7 e abbiamo visto che i numeri erano gialli e arancione, quindi sia Clara e sia Francesco hanno ragione. Esempio 5 (cat. 7) Secondo noi, Ha ragione Clara perché non ci sono dati che lo possono dimostrare. f) Risposte corrette a partire da una sola scelta Sono molto frequenti, in ogni categoria. Exemple 6 (cat 5): … Abbiamo anche i numeri di Giuseppe e Maria. Quello di Giuseppe è il 51 perché ha il resto di 2 che è uguale al colore giallo. Invece il numero di Maria è il 52 perché il resto è 3 ed è il colore verde. Sommando insieme fanno 103 e dividendolo per 7 il resto di 5 che è il colore indaco. Infatti ha ragione Anna Maria. Esempio 7 (cat 7): Secondo noi il numero scelto da Giuseppe è il 51 dato che è un numero colorato di giallo e dopo il 50. Il numero scelto da Maria è il 52 dato che è un numero colorato di verde. Quindi sommando questi due numeri si ottiene il numero 103 e per trovare il colore di questo numero ho continuato a costruire la tabella. Alla fine si ottiene che il numero 103 è colorati di indaco e quindi ha ragione Anna Maria. (Gli autori del problema intendevano incoraggiare gli allievi ad andare oltre le prime righe della tabella scegliendo un numero più grande di 50. Purtroppo l’intenzione non è stata di aiuto ma, al contrario, è stata letta dagli allievi quasi come un vincolo! A questo proposito, bisognerà modificare leggermente questa affermazione evitando di dare un limite preciso. Per esempio: « Giuseppe e Maria hanno prolungato la tabella aggiungendovi un grande numero di linee. Giuseppe vi sceglie un numero giallo, Maria vi sceglie un numero verde, che non è vicino al numero di Giuseppe. Addizionano i due numeri… ».)) g) Risposte corrette ottenute a partire da più scelte Esempio 8 (Cat 5) : Inizialmente, abbiamo colorato la scheda in base alle indicazioni date. Successivamente abbiamo riletto la parte inferiore del testo, quella sotto la tabella. Poi abbiamo fatto 51 + 52 (i primi numeri più grandi di 50) = 103. 103 : 7 resto 5 = colore indaco. Per essere più sicuri abbiamo fatto un altro tentativo 58 + 59 (i secondi numeri più grandi di 50) gialli e verdi) = 117. 117 : 7 , 16, reste 5. C’è qui un passo importante per l’acquisizione di «certezza» ! Questi allievi hanno percepito la famiglia, anche scegliendo due numeri che si susseguono. Cosa potremmo chiedere di più, come verifica, in categoria 5? Il fatto che le due coppie siano comunque “le prime due” dopo il 50, conferma la necessità della modifica sopra riportata. h) Oltre le verifiche, le spiegazioni Esempio 9 (Cat 5): … Per scoprire chi aveva ragione abbiamo fatto a tentativi per esempio 51 + 52 che fa 103 e ci siamo accorte che era indaco Abbiamo continuato a fare a tentativi e ci veniva sempre indaco. Però ci siamo accorte anche che se si somma il resto del giallo, cioè 2 e il resto del verde 3 si ottiene 5 che è il numero dalla posizione dell’indaco. Esempio 10 (Cat 7): Secondo noi ha ragione Anna Maria perché se Giuseppe ha scelto un numero giallo vuol dire che il suo resto à 2 e se Anna Maria ha scelto un numero verde vuol dire che il resto è tre. Facendo la somma dei 2 resti sappiamo che il risultato è uguale al resto di tutti i colori indaco. Indicazioni didatticheLa divisione con resto, o divisione euclidea (in omaggio a Euclide che pone le basi dell'aritmetica nei suoi Elementi) è un concetto chiave nella costruzione della rete di relazioni tra i numeri naturali. Si tratta di una procedura di calcolo che, a due interi naturali chiamati dividendo (D) e divisore (d), associa altri due interi chiamati quoziente (q) e resto (r) tali che D = d × q + r con r < d. Nel termine "divisione con resto", la "divisione" è tale solo di nome, mentre la "sottrazione" è semplicemente una "addizione da completare". Gli allievi conoscono una disposizione di questi quattro numeri e le regole di calcolo per trovare il quoziente e il resto: l'algoritmo della divisione con resto, che è un procedimento "meccanico" che gli allievi non erano in grado di comprendere al momento in cui è stato loro insegnato. (Lo dimostra il fatto che il 30% degli allievi non riesce a trovare il resto della divisione per 7 dei numeri da 0 a 6). È quindi necessario ripassare con loro le operazioni che collegano i quattro numeri: sottrazioni successive nell'algoritmo e, in sostanza, una moltiplicazione per esprimere i "multipli" del divisore e un'addizione per sommare il resto: tutti i multipli di 7 si scrivono sotto forma di prodotto di 7 per un numero che è il quoziente (intero). (D = 7 x q), i numeri che sono 1, 2, 3, 4, 5 o 6 superiori a un multiplo di 7 vengono scritti aggiungendo 1, 2, 3, 4, 5 o 6 al prodotto precedente. Ad esempio 28 = 7 x 4 + 0 (ci asteniamo dallo scrivere lo 0) 29 = 7 x 4 + 1, 30 = 7 x 4 + 2; ... L'obiettivo è far sì che gli allievi esprimano il concetto con parole proprie: Se voglio trovare il resto, devo cercare il multiplo del divisore che sia minore del dividendo, ma il più grande possibile (individuando quante volte il divisore vi è contenuto al massimo) e poi aggiungere ciò che serve (il resto) per arrivare al dividendo. Il processo di ricerca del multiplo appropriato consolida la conoscenza delle moltiplicazioni: - multipli di 7 (0 x 7 = 0; 1 x 7 = 7; 2 x 7 = 14; ...), - la somma di due multipli di 7 è anch'essa un multiplo di 7, - il prodotto tra un multiplo di 7 e 10, 100, ecc. (70; 140; ... 700; ... 2100; ...) è anch'esso un multiplo di 7; ... Il metodo prevede tentativi e approssimazioni successive. L'algoritmo standard non è né necessario né pedagogicamente utile. (Lo si potrà semplicemente menzionare in seguito, per curiosità, quando il compito richiederà di trovare quozienti esatti o approssimati utilizzando numeri razionali o decimali. Una calcolatrice svolgerà questo compito meglio e più velocemente!) Queste verbalizzazioni relativamente alla scrittura matematica devono obbligatoriamente comparire nella fase della messa in comune o nella fase di istituzionalizzazione, poi praticate sistematicamente nella fase successiva, individuale per ogni allievo. La seconda parte del problema — una volta completata la tabella — richiede di verificare diverse coppie di numeri "gialli" e "verdi" per osservare che la loro somma è sempre un numero "indaco", prima di giungere a una conclusione generale (valida "sempre") attraverso un ragionamento deduttivo; tale ragionamento si basa sulla proprietà fondamentale della somma di due multipli di 7, combinata con la somma dei due resti. Sperimentazioni condotte in classe hanno dimostrato che diversi allievi della categoria 5 ne sono convinti e sono in grado di spiegarlo con parole proprie. Ad esempio, come ha riferito un’insegnante: In un elaborato si legge: Abbiamo fatto due tentativi con i numeri gialli e verdi insieme, ma poi abbiamo scoperto che non c’era bisogno di farli, perché i numeri gialli hanno sempre 2 di resto e quelli verdi 3 e 3 più 2 fa sempre 5. Questa considerazione mi è sembrata particolarmente interessante ed ho chiesto ai ragazzi che l’avevano espressa in entrambe le classi di dare spiegazioni ulteriori ai loro compagni. Riporto due frasi: - Vedrai, se prendi sempre un numero giallo e uno verde e li metti insieme, dovrai sempre fare 3+2 - Per esempio, maestra, se tu prendi un numero arancione e uno giallo e li unisci, avrai sempre un numero verde perché i resti sono 1 e 2 e 1+2 fa 3 di resto e questo vuol dire che è verde”. Ho chiesto alla classe se avessero tutti capito ciò che avevano scoperto i loro compagni, ma dalle loro risposte mi è sembrato che avessero imparato, più che altro, “il trucchino” per trovare la risposta giusta e non avessero compreso il contenuto matematico sottostante. Perciò ho cercato una strategia alternativa ... Le espressioni letterali corrispondenti verranno introdotte a livelli superiori, ma è possibile trattare le espressioni numeriche. Infine, ogni allievo potrebbe creare una tabella completa delle 7 famiglie, includendo le espressioni aritmetiche (seguendo il modello dell'insegnante o una rappresentazione personale). È preferibile una disposizione a 7 colonne, come questa:  È la ripetizione dei numeri e delle loro scomposizioni in questa tabella a rivelare le regolarità nei resti e nei quozienti interi. Per andare più lontanoLa risposta “La somma di un ‘numero giallo’ e di un ‘numero verde’ è un numero ‘indaco’ non è ovviamente solo un caso particolare della situazione ed è insufficiente se si desidera che l’attività Arcobaleno assuma lo statuto di “problema”, cioè permetta agli allievi del gruppo di progredire nella costruzione delle relazioni tra la ricerca del resto di una divisione per 7 e sette famiglie “multipli di sette”, “numeri che valgono 1 più un multiplo di 7”, numeri che valgono 2 più un multiplo di 7”… È necessario che ogni allievo “vada più lontano” mettendo in evidenza con chiarezza le sette famiglie e passando alla scrittura aritmetica della divisione euclidea che, paradossalmente non fa intervenire i simboli di divisione ma quelli della moltiplicazione e dell’addizione. Esempi di attività per un'unità didattica da svolgere con la classe, adottando le modalità stabilite dall'insegnante; l'attività deve essere corredata da una descrizione e da commenti che ne valutino l'efficacia ai fini dell'acquisizione di conoscenze. a) Utilizzare materiali per consolidare le conoscenze. Si veda la proposta di Laura Mazzini indicata in bibliografia: Arcobaleno In Gazzetta BPrmt 1, pp. 39 e seguenti (LABORATORIO CON CECI E BICCHIERI). b) Costruire un'altra tabella completa dei resti della divisione per 10. Scoprire (o riscoprire) i numeri che terminano con 0, 1, 2, … 9: si tratta delle cifre delle unità! c) Proporre il problema "Divisione per 7" (ral. 31.II.15), in cui la somma dei due resti supera 7, rendendo necessaria la conversione nella classe di resto modulo 7! d) Oltre alla divisione euclidea (nell'insieme dei numeri naturali), passare alla divisione per 7 e calcolare i quozienti con approssimazione decimale (calcolandoli uno alla volta e verificandoli con la calcolatrice). Scoprire che le approssimazioni decimali delle frazioni con denominatore 7 presentano sempre le stesse sei cifre (1, 4, 2, 8, 5, 7) dopo la virgola! e) Altri esempi di domande relative alla somma di due numeri: - Di che colore sarà la somma di due numeri rossi? - Se si somma un numero giallo a un numero di un altro colore, è possibile ottenere un numero rosso? - Di che colore sarà la somma di un numero blu e di un numero indaco? - Le regolarità, ben evidenziate dalla rappresentazione in tabella, possono indurre a costruire altre tabelle con modulo diverso da 7 per “giocare” ad individuare posizioni e percorsi che potenzino la capacità di visualizzazione ed agevolino anche l’acquisizione del calcolo mentale, oltre ad essere di supporto nella scoperta di relazioni tra i numeri (es. trovare il numero che si trova nella seconda riga e quarta colonna oppure confrontare due numeri e scriverli secondo l’espressione numerica 9 x ... + r, se si lavora con modulo 9). f) Nella famiglia MUL — moltiplicazione di numeri naturali e divisione con resto — vi sono numerosi problemi che, senza dichiararlo esplicitamente, si basano su famiglie di numeri aventi lo stesso resto (classi di resto). In particolare, ciò include situazioni di divisione in cui è noto il resto dopo un primo tentativo di ripartizione, così come la quantità necessaria per ottenere una distribuzione equa. BibliografiaJaquet F. Spatoloni R. (2024) **À propos de division euclidienne / A proposito della divisione euclidea**. In Gazette de Transalpie / Gazzetta del Transalpino 14. pp.25-45Francois Jaquet, Laura Mazzini, Angela Mecacci, Patrizia Sabatini, Rita Spatoloni **Arcobaleno** In Gazzetta BPrmt 1. 25-46 (2026) Charnay Roland. **La division, le plus tôt possible ? La division, le mieux possible ?** In Le bulletin vert de l'APMEP 469 (2017) https://www.apmep.fr/La-division-le-plus-tot-possible Scheda elaborata secondo le sperimentazioni e riflessioni dei membri dello spazio cooperativo BPrmt : Francois Jaquet, Laura Mazzini, Angela Mecacci, Patrizia Sabatini, Rita Spatoloni.
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