Des croix sur la table

Identification

Rallye: 30.II.15 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: OPN
Familles:

• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste
• TBN - Compléter un tableau de nombres

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Résumé

Trouver les nombres de cinq cases de la table de multiplication disposées en forme de croix (un nombre central et ses quatre voisins du dessus, du dessous, de gauche et de droite), à partir de leur somme.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Savoirs mobilisés

L'addition et la multiplication de nombres naturels, les multiples de 5, la connaissance de la table de multiplication et la capacité d'établir des conjectures puis de les vérifier.

Tâche de résolution

- Percevoir l’enjeu proposé par le magicien : déterminer les cinq nombres cachés à partir de la seule donnée de leur somme et par conséquent penser qu’il y a une relation à découvrir, valable pour toutes les positions de la croix.

- Selon une démarche de recherche, calculer la somme des nombres dans plusieurs positions de la croix (pour l’exemple donné sur l’image, il s’agit de 140) et constater que la somme se termine toujours par 0 ou par 5 ou qu’elle est toujours un multiple de 5 ; ou remarquer que les trois nombres de la colonne, comme les trois nombres de la ligne sont des multiples des numéros, respectivement, de la ligne et de la colonne et que la somme est un multiple commun des deux nombres.

Selon l’un ou l’autre de ces indices, découvrir que la somme est multiple du nombre du centre.

- Vérifier cette conjecture pour être certain que pour chaque position de la croix, la somme des nombres de la croix est le quintuple du nombre central et en déduire que, dans le cas de 165, le nombre central est 33 (165 :5).

- Chercher le 33 dans la table, constater qu’on ne le trouve que deux fois

Notions mathématiques

nombres naturels, arithmétique, addition, multiplication, table de multiplication, multiples,

Résultats

30.II.15

Points attribués, sur 997 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse « Les cinq nombres sont 22, 30. 33. 36. 44 » avec explication montrant les relations entre le nombre central et la somme et l’unicité de la solution pour ce cas particulier de 165. (Par exemple « la somme des cinq nombres est le quintuple du nombre central », ou, « Magix a divisé 165 par 5 et trouvé 33 et il sait que 33 ne figure que deux fois dans la table de multiplication, avec les mêmes voisins »)
• 3 points: Réponse « Les cinq nombres sont 22, 30. 33. 36. 44 » avec seulement la mention d’essais ou que la somme est un multiple de 5
• 2 points: Réponse « Les cinq nombres sont 22, 30. 33. 36. 44 » sans explications
• 1 point: Réponse, le nombre de la case centrale est 33
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Il est difficile de caractériser ls procédures de recherche pour un problème de ce genre: ce sont les essais qui permettent de constater que la somme des nombres de la "croix" est un multiple de 5 et le nombre central est la moyenne des cinq nombres.

Exploitations didactiques

La table de multiplication est le « cœur » de l’arithmétique des nombres naturels ; elle illustre toutes les propriétés de l’addition et de la multiplication ainsi que les liens entre les deux opérations. Elle devrait être proposée souvent aux élèves, comme objet d’observation active pour aboutir à des « découvertes » de ses régularités.

Dans cette recherche originale des cinq nombres disposés en "croix" c'est la notion de moyenne qu'il est intéressant de développer: tous les nombres d'une ligne, ou d'une colonne constituent des progressions arithmétiques (écart constant) et par conséquent, trois nombres consécutifs ont pour moyenne le nombre du centre, ...