Croci sulla tabella

Identificazione

Rally: 30.II.15 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambito: OPN
Famiglie:

• MUL - Moltiplicare numeri naturali ed effettuare divisioni con resto
• TBN - Completare una tabella di numeri

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Sunto

Trovare i numeri di cinque quadrati della tavola pitagorica disposti a forma di croce (un numero centrale e quattro vicini sopra, sotto, a sinistra e a destra), nascosti ma di cui si conosce la somma.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Saperi mobilitati

Addizione e moltiplicazione di numeri naturali, multipli di 5, conoscenza della tavola pitagorica e capacità di fare congetture per poi verificarle.

Compito di risoluzione

- Percepire la sfida proposta dal mago: determinare i cinque numeri nascosti dal solo dato della loro somma e quindi pensare che ci sia una relazione da scoprire, valida per tutte le posizioni della croce.

- Utilizzando un approccio di ricerca, calcolare la somma dei numeri in diverse posizioni della croce (nell'esempio riportato nell'immagine è 140) e notare che la somma termina sempre con 0 o 5 oppure che è sempre un multiplo di 5; oppure notare che i tre numeri nella colonna, come i tre numeri nella riga, sono multipli dei numeri, rispettivamente, nella riga e nella colonna e che la somma è un multiplo comune dei due numeri.

Secondo l'uno o l'altro di questi indizi, scoprire che la somma è un multiplo del numero centrale.

- Verificare questa congettura per essere certo che per ogni posizione della croce, la somma dei numeri sulla croce è cinque volte il numero centrale e deducne che, nel caso di 165, il numero centrale è 33 (165:5).

- Cercare 33 nella tabella, scoprendo che si trova solo due volte.

Nozioni matematiche

numeri naturali, aritmetica, addizione, moltiplicazione, tavola pitagorica, multipli,

Risultati

30.II.15

Punteggi attribuiti, su 997 classi d i20 sezioni:

Secondo i criteri dell'analisi a priori :

• 4 punti: Risposta "i cinque numeri circondati dalla croce sono 22, 30, 33, 36, 44, con una spiegazione che mostri la relazione tra la somma dei cinque numeri e il numero centrale e l'unicità della soluzione (ad esempio: "la somma dei cinque numeri è sempre cinque volte il numero centrale” oppure “Magix ha diviso 165 per 5 per trovare il numero centrale 33 e sa che 33 figura solo due volte nella tavola pitagorica con i medesimi vicini”, oppure…)
• 3 punti: Risposta "i cinque numeri circondati dalla croce sono 22, 30, 33, 36, 44, con una spiegazione che menziona solo che la somma è sempre un multiplo di 5
• 2 punti: Risposta "i cinque numeri circondati dalla croce sono 22, 30, 33, 36, 44, senza spiegazione sulla regola di Magix
• 1 punto: Risposta «il numero al centro è 33»
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

È difficile caratterizzare le procedure di ricerca per un problema di questo tipo: sono proprio i tentativi che permettono di notare che la somma dei numeri della "croce" è un multiplo di 5 e il numero centrale è la media dei cinque numeri.

Indicazioni didattiche

La tavola pitagorica è il “cuore” dell'aritmetica dei numeri naturali; illustra tutte le proprietà dell'addizione e della moltiplicazione nonché i collegamenti tra le due operazioni. Dovrebbe essere spesso proposto agli studenti, come oggetto di osservazione attiva per condurre alla “scoperta” delle sue regolarità.

In questa originale ricerca di cinque numeri disposti a "croce", è la nozione di media che interessa sviluppare: tutti i numeri in una riga, o in una colonna costituiscono progressioni aritmetiche (differenze costante) e quindi, tre numeri consecutivi hanno come media il numero centrale, ...