Division par 7

Identification

Rallye: 31.II.15 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: OPN
Familles:

• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste
• TBN - Compléter un tableau de nombres

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Résumé

Déterminer le reste de la division par 7 d’une somme de deux nombres, sachant que les restes de la division par 7 est 5 pour le premier des deux nombres et 4 pour le second.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Découvrir une propriété de l’addition de nombres naturels lorsqu’on s’intéresse au reste de leur division par 7 : la somme d’un nombre dont le reste de la division par 7 est 5 et d’un nombre dont le reste de la division par 7 est 4 est un nombre dont le reste de la division par 7 est 2.

Il faut d’abord vérifier cette propriété sur quelques exemples, puis constater qu’elle semble généralisable à tous les couples choisis puis chercher à expliquer pourquoi.

Les différentes étapes de l’élaboration de la propriété peuvent être les suivantes :

- Se rappeler que les restes de la division par 7 sont les nombres de 0 à 6 et que par conséquent il y a 7 sous-ensembles des nombres naturels lorsqu’on les groupe selon leurs restes d’une division par 7 : les multiples de 7, les nombres qui valent 1 ou 2, ou 3, ou 4, ou 5, ou 6 de plus qu’un multiple de 7.

- Les deux nombres choisis par A et B valent respectivement 5 et 4 de plus qu’un multiple de 7. Quelques essais montrent que la somme de ces nombres vaut 2 de plus qu’un multiple de 7 (Par exemple 75 et 74, donnent 149 qui est 140 + 9 mais aussi 147 + 2).

- Il faut savoir aussi que la somme de deux multiples de 7 est un multiple de 7 (par distributivité).

- Se rendre compte que, dans le cas général un « multiple de 7 » + 5) ajouté à un « multiple de 7 » + 4 donne un « multiple de 7 » + 9 ou un « multiple de 7 » + 7 + 2 et que « un multiple de 7 » + 7 est aussi un multiple de 7. (En langage algébrique : si A = 7a + 5 et B = 7b + 4, la somme A + B = 7a + 5 + 7b + 4 = 7(a + b) + 4 + 5 = 7(a + b) + 9 = 7(a + b) + 7 + 2 = 7(a + b + 1) + 2.)

Donc on peut être convaincu que, lorsque l’on revient aux termes de « division par 7 » et de « reste », le reste de la division par 7 de la somme des deux nombres choisis donne un reste de 2.

Notions mathématiques

nombres naturels, arithmétique, addition, multiplication, multiples, division, reste, algorithme,

Résultats

31.II.15

Points attribués, sur 1246 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte « Le reste est 2 » avec la description de plusieurs essais (au moins 3 à 4) et une argumentation qui laisse entrevoir que les élèves se sont rendus compte qu’il faut aller au-delà des vérifications, vers une généralisation « pour tous choix possibles » (par exemple une référence aux deux restes de 5 et de 4 qui, ajoutés, donnent 9 qui, lui-même aura un reste de 2 dans la division par 7). On n’exigera pas une démonstration « formelle »
• 3 points: Réponse correcte, avec la description de plusieurs essais, sans argumentation autre que « le reste est 2 pour tous les choix possibles »
• 2 points: Réponse correcte avec la description d’un ou deux essais seulement Réponse correcte sans explications
• 1 point: Réponse correcte sans explications
• 0 point: Incompréhension du problème
  ou réponse incorrecte : du genre, on ne peut pas savoir ou cela dépend des nombres choisis

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Ce problème est le complément de Arc-en-ciel (31.II.10 cat 5-7) qui demandait aux élèves de colorier les nombres d'une table des 50 premiers naturels pour faire apparaître les sept "classes de reste de la division par 7, puis de déterminer la "couleur" de la somme de deux nombres de restes 2 et 3.

Cette version est un peu difficile car elle exige de retrancher 7 de la somme des deux restes. L'erreur la plus fréquent est donc la réponse 9 (5 + 4) au lieu de 2.

Les résultats font apparaître une progression entre la catégorie 8 et les catégories 9 et 10, mais témoignent d'une perception encore très hésitante des notions fondamentales:

Une majorité des élèves ignorent (ou perçoivent pas les liens entre les quatre nombres naturels en jeu: le Dividende (D), le diviseur (d), le quotient entier (q) et le reste (r)): l'expression de la division euclidienne au moyen d'une multiplication et d'une addition qui est la relation fondamentale de l'arithmétique: D = d x q + r avec r < q .

Pour ces élèves, il n'est pas évident qu'un multiple de 7 a un reste de 0 lorsqu'on le divise par 7, que les nombres qui valent 1, 2, 3... de plus qu'un multiple de 7 ont des restes de 1, 2, 3 ... lorsqu'on les divise par 7.

Leurs argumentations ne sont pas de bien meilleure qualité que celles de leurs camarades de catégories 5 à 7.

Bibliographie

Jaquet F. Spatoloni R. (2024) À propos de division euclidienne. In Gazette de Transalpie / Gazzetta del Trasalpino 14. pp.25-45