Divisione per 7

Identificazione

Rally: 31.II.15 ; categorie: 8, 9, 10 ; ambito: OPN
Famiglie:

• MUL - Moltiplicare numeri naturali ed effettuare divisioni con resto
• TBN - Completare una tabella di numeri

Envoyer une remarque ou une suggestion

Sunto

Trovare il resto della divisione per 7 di una somma di due numeri, sapendo che il resto della divisione per 7 è 5 per il primo dei due numeri e 4 per il secondo.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Scoprire una proprietà dell’addizione di numeri naturali, quando si osservano i resti delle divisioni per 7: la somma di un numero il cui resto della divisione per 7 è 5 e di un numero i cui resto della divisione per 7 è 4 è un numero il cui resto della divisione per 7 è 2. Bisogna prima verificare questa proprietà su alcuni esempi, poi constatare che sembra generalizzabile per tutte le coppie scelte, poi cercare di spiegare il perché.

Le diverse tappe dell’elaborazione di questa proprietà possono essere le seguenti:

- Ricordare che i resti della divisione per 7 sono i numeri da 0 a 6 e che conseguentemente ci sono 7 sottoinsiemi di numeri naturali quando li si raggruppano secondo i loro resti della divisione per 7: i multipli di 7, i numeri che superano di 1, o 2, o 3, o 4, o 5, o 6 un multiplo di 7.

- I due numeri scelti per A e B superano rispettivamente di 5 e di 4 un multiplo di 7. (Per esempio, la somma di 75 e 74 vale 149, uguale a 140 + 9 ma anche 147 + 2).

- Osservare anche che la somma di due multipli di 7 è un multiplo di 7 (per la distributività)

- E anche necessario di sapere che la somma di due multipli di 7 è un multiplo di 7 (per distributività).

- Rendersi conto che, nel caso generale un “multiplo di 7” + 5, sommato ad un “multiplo di 7” + 4, dà un “multiplo di 7” + 9, cioè un “multiplo di 7” + 2 e che un “multiplo di 7” + 7 è ancora un multiplo di 7. (Nel linguaggio algebrico: se A = 7a + 5 e B = 7b + 4, la somma A + B = 7a + 5 + 7b + 4 = 7 (a + b) + 4 + 5 = 7 (a + b) + 9 = 7(a + b) + 7 + 2 = 7 (a + b + 1) + 2.)

Quindi ci si può convincere che, quando si ritorna ai termini di “divisione per 7” e di “resto”, il resto della divisione per 7 della somma dei due numeri scelti da’ un resto di 2.

Nozioni matematiche

nombres naturels, arithmétique, addition, multiplication, multiples, division, reste, algorithme,

Risultati

31.II.15

Punteggi attribuiti, su 1246 classi di 20 sezioni:

Secondo i criteri dell'analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta “il resto è 2” con la descrizione di diversi tentativi (almeno 3 o 4) e una argomentazione che lasci intravedere che gli allievi si sono resi conto che bisogna andare al di là delle verifiche, verso una generalizzazione “per tutte le scelte possibili” (per esempio un riferimento ai due resti di 5 e di 4, che aggiunti danno 9, che esso stesso avrà resto 2 nella divisione per 7). Non si esigerà una dimostrazione “formale”
• 3 punti: Risposta corretta, con la descrizione di più tentativi, senza argomentazioni, se non che “il resto è 2 per tutte le scelte possibili”
• 2 punti: Risposta corretta con la descrizione di una o due tentativi soltanto
• 1 punto: Risposta corretta senza spiegazioni
• 0 punto: Incomprensione del problema
  oppure risposta sbagliata, del tipo “non si può sapere”, oppure “dipende dai numeri scelti”

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Questo problema è il complemento di Arcobaleno (31.II.10 cat 5-7) che chiedeva agli allievi di colorare i numeri di una tabella dei primi 50 naturali per ottenere le sette "classi di resto della divisione per 7, quindi si determina il "colore" della somma di due numeri di resto 2 e 3.

Questa versione è un po' più difficile perché richiede di sottrarre 7 dalla somma dei due resti. L'errore più frequente è quindi la risposta 9 (5+4) anziché 2.

I risultati mostrano una progressione tra la categoria 8 e le categorie 9 e 10, ma dimostrano una percezione ancora molto titubante delle nozioni fondamentali:

La maggioranza degli allievi ignora (o non percepisce i legami tra i quattro numeri naturali in gioco: il Dividendo (D), il divisore (d), il quoziente intero (q) e il resto (r)): l'espressione della "divisione euclidea" mediante moltiplicazione e addizione che è la relazione fondamentale dell'aritmetica: D = d x q + r con r < q.

Per questi allievi non è ovvio che un multiplo di 7 abbia resto 0 diviso per 7, che i numeri che valgono 1, 2, 3... più di un multiplo di 7 abbiano resto 1, 2, 3... quando diviso per 7.

I loro argomenti non sono di qualità molto migliore di quelli dei loro compagni di classe dalle categorie da 5 a 7.

Bibliografia

Jaquet F. Spatoloni R. (2024) A proposito di divisione euclidea. In Gazette de Transalpie / Gazzetta del Trasalpino 14. pp.25-45