Banque de problèmes du RMT
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Trouver combien il y a de nombres différents dans une table de multiplication de 9 x 9.
Observer attentivement la table de multiplication et y découvrir les nombres qui y figurent une seule fois, deux fois, trois fois, ce qui revient à percevoir la symétrie par rapport à la « diagonale principale de la table », dont l’extrémité supérieure gauche est la case « 1 ».
Derrière l’observation attentive, il y a des savoirs mobilisés liés à la multiplication : la commutativité et la décomposition en facteurs et il en aura beaucoup d’autres après avoir trouvé les réponses aux questions de l’énoncé.
Le dénombrement des nombres différents peut se faire, par comptage un à un, sans tenir compte des couleurs, mais la tâche de coloriagen permet de vérifier si l’identification des cases est correcte et peut aussi faciliter le dénombrement des 36 nombres, selon leur fréquence d’apparition : les 5 cases rouges (5 nombres différents), les 22 cases orange dans une seule des parties symétriques (22 nombres différents), 4 cases jaunes sur la diagonale, répétées chacune une fois sur les deux parties symétriques (4 nombres différents et 10 cases vertes sur une seule des parties symétriques avec pour chacune deux nombres égaux 6, 8, 12, 18 et 24 (5 nombres différents). Au total 36 nombres différents.
Cette tâche exige attention : précision, contrôles, toutes qualités caractéristiques d’une démarche mathématique.
Pour la deuxième partie, avec l’adjonction des multiples de 10, 11 et 12, il faut constater que ces nombres apparaîtront plus souvent. Le 36 cinq fois, le 12 et le 24 chacun six fois.
nombre naturel, multiplication, table de multiplication, commutativité, décomposition, multiple, diviseur
Sur les 9 classes de la finale internationale 2024:
- La première table coloriée sans erreurs : 36 nombres différents, et pour la deuxième table: en bleu les cinq nombres “36” puis en bleu les nombres “12” et “24” répétés 6 fois (2 classes)
- Une seule erreur dans une des tables (2 classes)
- De deux à quatre erreurs en tout (3 classes)
- De cinq à dix erreurs en tout (2 classes)
On ne peut pas savoir quelles sont les procédures adoptées par les élèves sur neuf copies seulement alors qu’il n’y avait pas de demande d’explication.
C’est la première table qui présente le plus d’erreurs ou d’oublis, en particulier pour les plus grands nombres, qui entraînent ensuite une erreur sur la réponse « 36 nombres différents ».
On ne peut pas parler « d’obstacles » mais simplement de « manque d’attention » ou de ne pas avoir pris en compte la symétrie de la table.
Pour la seconde table (de 12 x 12) on ne relève qu’une seule erreur sur les 9 copies
L’activité Nombres en couleur est une occasion d’étudier la table de multiplication ou de la découvrir au cas où elle aurait été ignorée ou négligée. Après la résolution par groupes puis une vérification des résultats en commun le travail didactique est indispensable et peut s’étendre sur plusieurs périodes.
- Il y a tout d’abord le coloriage correct (de 9 x 9) que chaque élève doit effectuer pour conserver une explicitation de ses caractéristiques : la symétrie de la table, les caractéristiques des nombres de la diagonale qui figurent un nombre impair de fois et qui sont des produits de deux mêmes nombres répétés (les « carrés ») ; le fait que les nombres en orange n’ont que deux manières de s’écrire sous forme de produit : en invertissant l’ordre des deux facteurs ; le fait que les nombres en vert ont chacun quatre nombres à disposition pour les écrire sous forme de produit de deux facteurs parmi leurs diviseurs, …
- Le coloriage complet de la deuxième table (de 12 x 12) nécessite deux nouvelles couleurs et certains nombres changent de couleur de la première à la deuxième table, de l’orange au vert comme « 10 », du vert au violet comme « 12 » et « 24 », du rouge au bleu comme « 36 ».
- Les tables plus étendues comme 15 x 15, ou 20 x 20 offrent de nombreuses constatations sur le nombre de couleurs nécessaires, les changements de couleur, les nombres de la diagonale, …
Il y a plusieurs procédures pour colorier les cases de la table sans en oublier. Par exemple, prendre les nombres dans l’ordre croissant : 1 n’a qu’une seule écriture (1 x 1) : 2 en a deux 1 x 2 et 2 x 1 ; 3 aussi ; 4 en a trois (1 x 4), (4 x 1) par symétrie mais aussi (2 x 2) qui se trouve une seule fois, sur la diagonale, parce que ses deux facteurs sont identiques ; 5 en a deux, comme 2 et 3 ;à 6 en a quatre (1 x 6), (6 x 1), (2 x 3), (3 x 2) … pour 10, il y aura aussi quatre écritures (1 x 10), (10 x 1), (2 x 5), (5 x 2) mais les deux premières ne figurent pas dans la première table allant de (1 x 1) à (9 x 9) et il faudra « attendre » la table de (1 x 1) à (12 x 12) pour les voir apparaître.
Les savoirs essentiels à renforcer sont décrits avec plus de précision dans l'article cité en bibliographie. Ces savoirs intéressent les élèves bien au-delà de l'école primaire, jusqu'aux adultes comme le montre l'exemple des 8 voisins d'une des cases de la table de multiplication où figure 2025 !!
Exemples d'activités en vue d'un parcours didactique avec la classe
À expérimenter en classe, selon des modalités déterminées par l'enseignant; avec envoi de description et commentaires pour rendre compte de l'opportunité de l'activité pour la construction des savoirs (notés en italique).
1) 12 et 24 apparaissent six fois (en violet) dans la table de (1 1) à (12 12).
Ces deux nombres apparaîtront-ils toujours six fois dans des tables plus grandes ?
2) 36 apparaît trois fois dans la première table et cinq fois dans la seconde.
Pourra-t-il apparaître plus souvent dans des tables plus grandes ?
3) 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; sont en orange dans les deux premières tables.
Ces quatre nombres seront-ils toujours en orange dans des tables plus grandes ?
Trouvez les tous les autres nombres plus petits que 20 qui seront toujours en orange dans des tables plus grandes.
Le coloriage est inutile d’un point de vue mathématique mais il permet de sensibiliser chaque élève aux caractéristiques de la table de multiplication ; de ses parties limitées au nombre de (1 x 1) à (9 x 9) puis de (1 x 1) à (12 x 12) à son extension jusqu’aux grands nombres, aussi loin que l’on veut. Pour chaque nombre naturel, le nombre d’apparitions dans la table étendue sera aussi celui de ses diviseurs ; les nombres qui restent en orange « s’espacent » de plus en plus et l’on peut déjà imaginer lesquels seront toujours en orange (ou n’apparaîtront toujours deux fois, ou n’auront toujours que deux diviseurs), ceux qu’on appellera les « nombres premiers » dont on connaît l’intérêt pour l’arithmétique.
Cette étude de la table de multiplication peut être entreprise dès l’introduction de la multiplication comme « opération » sur deux nombres naturels, en catégorie 4 et se poursuivre et se répéter pour tous les degrés suivants, même jusqu’au lycée ! Il y a toujours d’autre propriétés à découvrir dans la table de multiplication.
Et une proposition d’activité :
4) Faire construire aux élèves la table de (1 x 1) à (15 x 15) , la remplir et colorier les cases (avec peut-être de nouvelles couleurs si nécessaire) pour percevoir quelques liens importants entre les cases de cette grande famille des nombres naturels. C’est la meilleure manière de percevoir la richesse de la table de multiplication.
Jaquet F. (2024) Analyses de la finale internationale de 2024. In Gazette de Transalpie / Gazzetta del Trasalpino 15. pp.77-128