Banca di problemi del RMT
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Scoprire quanti numeri diversi ci sono in una tabella di moltiplicazione 9 x 9.
Osservare attentamente la tabella di moltiplicazione e scoprire i numeri che compaiono una sola volta, due, tre volte… il che equivale a percepire la simmetria rispetto alla “diagonale principale della tabella”, la cui estremità in alto a sinistra è la casella “1”.
Dietro l'osservazione attenta si mobilitano conoscenze legate alla moltiplicazione: commutatività e scomposizione in fattori e ce ne saranno molte altre dopo aver trovato le risposte alle domande dell'enunciato. Il conteggio dei numeri differenti può essere effettuato contando uno a uno, senza tener conto della colorazione, ma questo compito permette di verificare se l'identificazione delle caselle è corretta e può anche facilitare il conteggio dei 36 numeri, secondo la loro frequenza di comparsa:
Le 5 caselle rosse (5 numeri differenti, le 22 caselle arancioni in una sola delle parti simmetriche (22 numeri d differenti), 4 caselle gialle sulla diagonale, ciascuna ripetuta una volta sulle due parti simmetriche (4 numeri differenti) e 10 caselle verdi su una sola delle parti simmetriche con due numeri uguali 6, 8, 12, 18 e 24 (5 numeri differenti in totale) Questo compito richiede attenzione: precisione, controllo, tutte qualità caratteristiche di un approccio matematico.
Per la seconda parte, con l'aggiunta dei multipli di 10, 11 e 12, va notato che questi numeri appariranno più spesso. Il 36 cinque volte, il 12 e il 24 ciascuno sei volte.
nombre naturel, multiplication, table de multiplication, commutativité, décomposition, multiple, diviseur
Su gli 9 elaborati delle finale internazionale di 2024
- La prima tabella colorata senza errori: 36 numeri differenti e per la seconda tabella: in blu i cinque numeri “36” poi in blu i numeri “12” e “24” ripetuti 6 volte (2 classi)
- Un singolo errore in una delle tabelle (2 classi)
- Da due a quattro errori in totale (3 classi)
- Da cinque a dieci errori in totale (2 classi)
Non possiamo sapere quali procedure siano state adottate dagli allievi su soli nove elaborati dal momento che non era stata richiesta di spiegazioni.
È la prima tabella che presenta più errori o omissioni, in particolare per i numeri più grandi, che portano poi ad un errore sulla risposta “36 numeri differenti”.
Non si può parlare di “ostacoli” ma semplicemente di “disattenzioni” o di non aver tenuto conto della simmetria della tabella.
Per la seconda tabella (di 12 x 12) c'è un solo errore su 9 elaborati.
L'attività Numeri in Colore è un'occasione per studiare la tabella di moltiplicazione o scoprirla nel caso sia stata ignorata o trascurata. Dopo la risoluzione per gruppi e poi la verifica congiunta dei risultati, il lavoro didattico è essenziale e può estendersi su più periodi.
- Innanzitutto c'è la colorazione corretta (di 9 x 9) che ogni allievo deve fare per avere una esplicitazione delle sue caratteristiche: la simmetria della tabella, le caratteristiche dei numeri sulla diagonale che compaiono un numero dispari di volte e che sono prodotti di due stessi numeri ripetuti (i “quadrati”); il fatto che i numeri in arancione hanno solo due modi di essere scritti sotto forma di prodotto: invertendo l'ordine dei due fattori; il fatto che i numeri in verde abbiano ciascuno quattro numeri a disposizione per scriverli come prodotto di due fattori tra i loro divisori, …
- La colorazione completa della seconda tabella (da 12 x 12) richiede due nuovi colori e alcuni numeri cambiano colore dalla prima alla seconda tabella, dall'arancione al verde come "10", dal verde al viola come "12» e "24" ”, dal rosso al blu come “36”.
- Tabelle più estese come 15 x 15 o 20 x 20 offrono molte osservazioni sul numero di colori necessari, cambiamenti di colore, numeri della diagonale, …
Esistono diverse procedure per colorare le caselle della tabella senza tralasciarne alcuna. Prendiamo ad esempio i numeri in ordine crescente: 1 ha una sola scrittura (1 x 1); 2 ne ha due 1 x 2 e 2 x 1; 3 anche; 4 ne ha tre (1 x 4), (4 x 1) per simmetria ma anche (2 x 2) che si trova una sola volta, sulla diagonale, perché i suoi due fattori sono identici; 5 ne ha due, come 2 e 3; 6 ne ha quattro (1 x 6), (6 x 1), (2 x 3), (3 x 2)
… anche per 10 ci saranno quattro scritture (1 x 10), (10 x 1), ( 2 x 5), (5 x 2) ma le prime due non compaiono nella prima tabella che va da (1 x 1) a (9 x 9) e dovremo “aspettare” la tabella da (1 x 1) a ( 12 x 12) per vederli apparire.
I saperi da rinforzare sono descritti più dettagliatamente nell'articolo citato in bibliografia. Queste conoscenze interessano gli allievi ben oltre la scuola elementare, fino agli adulti come dimostra l'esempio degli 8 caselle vicine di una delle caselle della tabella di moltiplicazione dove compare il 2025!!
Alcuni esempi di domande da porre (che costituiscono nuovi problemi):
1) 12 e 24 compaiono sei volte (in viola) nella tabella da (1 x 1) a (12 x 12).
Questi due numeri appariranno ancora sei volte in tabelle più grandi?
2) 36 appare tre volte nella prima tabella e cinque volte nella seconda,
Potrà apparire più spesso in tabelle più grandi?
3) 2; 3; 5; 7; sono in arancione nelle prime due tabelle.
Questi quattro numeri saranno ancora arancioni in tabelle più grandi?
Trovate tutti gli altri numeri inferiori a 20 che saranno sempre in arancione in tabelle più grandi.
Colorare è inutile dal punto di vista matematico, ma rende ogni allievo consapevole delle caratteristiche della tabella di moltiplicazione; dalle sue parti limitate al numero di (1 x 1) a (9 x 9) poi da (1 x 1) a (12 x 12) alla sua estensione a numeri grandi, per quanto vogliamo. Per ogni numero naturale il numero delle presenze nella tabella estesa sarà anche quello dei suoi divisori; i numeri che restano in arancione si "spaziano" sempre di più e possiamo già immaginare quali saranno sempre in arancione (o appariranno sempre due volte, o avranno sempre solo due divisori), quali chiameranno "numeri primi" ” di cui è noto l’interesse per l’aritmetica.
Questo studio della tabella di moltiplicazione può essere intrapreso a partire dall'introduzione della moltiplicazione come “operazione” su due numeri naturali, nella categoria 4 e continuato e ripetuto per tutte le classi successive, anche fino alle superiori! Ci sono sempre altre proprietà da scoprire nella tavola pitagorica.
E una proposta di attività:
1) Far costruire agli allievi la tabella da (1 X 1) a (15 X 15), compilarla e colorare le caselle (magari con nuovi colori se necessario) per percepire alcuni collegamenti importanti tra le caselle di questa grande famiglia dei numeri naturali. Questo è il modo migliore per percepire la ricchezza della tabella di moltiplicazione.
Jaquet F. (2024) Analisi della finale internazionale de 2024. In Gazette de Transalpie / Gazzetta del Trasalpino 15. pp. 75 - 128