Piramidi di bicchieri

Identificazione

Rally: 31.F.12 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambito: OPN
Famiglie:

• ADD - Cercare una somma o una differenza di numeri
• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• DCP - Scomporre un numero naturale

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Sunto

Scomporre 423 in una somma formata dal maggior numero di termini pari all'ottavo numero triangolare (36) e dal minimo di altri numeri triangolari minori.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Appropriazione

Capire la regola di costruzione delle piramidi di bicchieri. Comprendere che il primo piano di una piramide di otto piani è composto esattamente da 8 bicchieri, il secondo da 7 bicchieri e così via, ogni piano ha un bicchiere in meno di quello sottostante. Capire che il numero totale di bicchieri di una piramide di otto piani è la somma dei primi otto numeri naturali: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36

Procedure

- Partire da 423 e sottrarre tante volte il numero 36 segnando ogni volta la piramide costruita (423 – 36 = 387 (una piramide); 387 – 36 = 351 (due piramidi); 351 – 36 = 315 (tre piramidi)) … e proseguire fino ad ottenere un resto di 27 bicchieri.

- Oppure sommare più volte 36 e rendersi conto che dopo aver sommato 12 volte 36 si è ottenuto un numero maggiore di 423 cioè 432 e quindi che ci si deve fermare a 396 (undici piramidi). Il resto è di 423 – 396 = 27 (questa strategia può essere svolta anche con la moltiplicazione)

- Oppure procedere dividendo 423 per 36 e trovando 11 con resto di 27, quindi si possono costruire 11 piramidi di otto piani, ciascuna di 36 bicchieri. Sono stati così utilizzati 396 bicchieri (36 × 11 = 396).

- Notare che con i 27 bicchieri rimasti (423 – 396 = 27) si hanno sei possibilità: 1 piramide di sei piani (21 bicchieri) e 1 piramide di tre piani (6 bicchieri); 1 da sei piani (21 bicchieri) e 2 da due piani (2 × 3 = 6 bicchieri); 1 da cinque piani (15) e 2 da tre piani (2 × 6 = 12 bicchieri); 1 da cinque piani (15) e 4 da due piani (4 × 3 = 12 bicchieri); 4 da tre piani (4 × 6 = 24 bicchieri) e 1 da due piani (3 bicchieri); 9 da due piani (9 × 3 = 27 bicchieri).

- Concludere che le piramidi di otto piani sono 11 e che con i bicchieri che restano Luca costruisce una piramide di sei piani e una di tre piani, che è l’unica possibilità che consente il rispetto del vincolo “il minor numero possibile di piramidi”.

- Si può anche procedere con l’aiuto di una tabella, per esempio, osservando che il numero 27 si ottiene come somma dei due numeri triangolari 6 e 21.

  Piani               1o 2o  3o  4o  5o  6o  7o  8o
  Numero di bicchieri 1   3   6   10  15  21  28  36	

Nozioni matematiche

numero naturale, numero triangolare, addizione, somma, moltiplicazione, prodotto, differenza, divisione euclidea

Risultati

31.F.12

Punteggi attribuiti, su 222 classi di 20 sezioni:

Secondo i criteri dell'analisi a priori :

• 4 punti: Risposta corretta e completa (11 piramidi di otto piani, una di sei piani e una di tre piani – oppure risposta che considera il numero dei bicchieri: 11 ciascuna di 36 bicchieri, una di 21 bicchieri e una di 6 bicchieri) con spiegazione esauriente e/o calcoli dettagliati
• 3 punti: Risposta corretta e completa con descrizione parziale o poco chiara della procedura utilizzata
• 2 punti: Risposta corretta senza calcoli né argomentazioni
  oppure risposta errata dovuta a un errore di calcolo o di conteggio, ma con procedura corretta
• 1 punto: Risposta 11 piramidi di otto piani con calcoli e/o spiegazione
  oppure soltanto tutte le possibilità (a partire da piramidi di due piani) corrette
• 0 punto: Incompréhension du problème oppure solo il calcolo dei bicchieri di una piramide di otto piani