Test de mathématiques

Identification

Rallye: 30.I.16 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: OPN, AL
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• MEQ - Etablir puis résoudre des (in)équations
• MEQ/EQL - Résoudre un système d’équations linéaires

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Résumé

Trouver trois nombres naturels dont la somme est 24 et tels que si l’on multiplie le premier par 7 et qu’on soustrait le triple du second on obtient 107.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori

- La lecture de l’énoncé conduit à la relation numérique « 7 fois le nombre de réponses correctes moins 3 fois le nombre de réponses erronées égale 107 ». Le calcul du troisième nombre sera la différence entre les 24 questions et la somme des réponses correctes et des réponses fausses.

- Les connaissances nécessaires pour la recherche de la solution se limitent à la recherche de multiples de 7 et de 3 puis à une soustraction.

- Une procédure consiste à envisager les multiples de 7 supérieurs à 107 (nombre de points obtenus avec les réponses correctes) desquels il faudra soustraire un multiple de 3 (nombre de points à retrancher pour les réponses erronées) pour revenir à 107. Il suffit alors de calculer les différences entre ces différents multiples de 7 et 107, de vérifier si ces différences sont des multiples de 3 et, dans l’affirmative, vérifier encore que le nombre de questions - justes et fausses - soit inférieur à 24.

Les multiples de 7 à envisager sont 112, 119, 126, 133, 140, 147 … les différences correspondantes à 107 sont respectivement 5 ; 12 ; 19 ; 26 ; 33 ; … dont on retient 12, 33, 54, … qui sont des multiples de 3.

Seul le couple 119 (17 × 7) ; 12 (4 × 3) convient puisque 17 + 4 = 21 qui est inférieur à 24. Il y a donc 17 réponses correctes, 4 réponses erronées et 3 non-réponses.

- Une procédure algébrique, consisterait à résoudre un système d’équations dans N du genre :

7x – 3y = 107

x + y + z = 24

et de rechercher les solutions entières positives de x = (107 + 3y)/7

Notions mathématiques

nombre naturel, addition, soustraction, multiplication, division, somme, algèbre, fausse position

Résultats

30.I.16

Points attribués, sur 1166 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (17 réponse correctes, 4 erronées et 3 non-réponses) avec le détail des calculs (les multiples d 7 et d 3, les différences, les choix ou une résolution algébrique
• 3 points: Réponse correcte avec un étape qui manque dans la description
  ou réponse correcte avec seulement une vérification
• 2 points: Réponse correcte sans explications
  ou une erreur dans l’un des trois nombres
• 1 point: Début de recherche (liste des multiples de 7 et de 3, combinaison de ces multiples différente de 1
• 0 point: Incompréhension du problème