Banque de problèmes du RMT
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Compléter des "pyramides" de briques selon la règle: "le nombre d’une brique est la somme des nombres des deux briques sur lesquelles elle repose."
Savoir compléter des écritures additives lacunaires successives (équations), par addition ou soustraction.
Selon l’exemple de la pyramide 1, la pyramide 2 n’est qu’une application directe de la règle : 21 + 45 = 66 ; 33 + 66 = 99 ; 21 + … = 33, pour trouver 12 en bas à droite. La pyramide 3 demande de calculer 6 (13 – 7 ou 7 + … = 13), puis 15 (6 + 9), puis 28 (15 + 13), puis 23 (51 – 28 ou 28 + … = 51), puis 10, puis 3. La pyramide 4 conduit à une « équation » (5 + x) + (7 + x) = 30 qui peut se résoudre par essais successifs du nombre du milieu de la base qui doit être 9 pour que la somme des deux nombres du premier étage soit 30.
La pyramide 5 est du même type mais nécessite le passage à un nombre non naturel car, par essais successifs : (12 + 1) + (13 + 1) = 27 trop petit ; (12 + 2) + (13 + 2) = 29 trop petit ; (12 + 3) + (13 + 2) = 29 trop grand ; il faut essayer avec un nombre entre 2 et 3 : (12 + 2,5) + (13 + 2,5) = 30 !!!
La pyramide 6 combine les procédures précédentes.
addition, soustraction, nombre naturel, nombre décimal, somme, différence, déduction
Sur les 9 copies rendue de la finale internationale de 2024:
- Les 5 pyramides complétées correctement (7 classes)
- 3 pyramide complétées correctement (2 classes)
Au vu de la réussite quasi-totale de cette activité, on ne peut plus la considérer comme un problème pour des élèves d’une finale internationale, particulièrement aptes à la recherche collective de solutions.
Lorsque les opérations d’addition et de soustraction ne sont pas applicables directement, ce sont les essais qui donnent rapidement la solution, en particulier pour la pyramide 5 où le nombre au centre en bas est 2,5.
Par exemple: On a fait plusieurs tests avec des chiffres et des nombres entiers jusqu’à arriver à la 5eme pyramide. On a remarqué que les nombres entiers ne marchent pas donc nous avons utilisé les nombres décimaux pour y arriver.
L’unique pyramide non complétée, par un seul groupe, est précisément la 5e : Per noi, non può tornare. (Selon nous, ça ne peut par marcher.
Ces « pyramides » mettent en jeu l’addition et la soustraction, selon les règles de leur construction. Les trois premières se complètent par une simple application, pas à pas de la règle. Les trois suivantes nécessitent des essais ou une anticipation (de type préalgébrique) et c’est là leur intérêt.
Dans la quatrième, il n’y a qu’un ou deux essais à faire pour arriver au « 9 » de la brique centrale en bas et il n’est pas nécessaire d’envisager une procédure plus courte.
Si l’on choisit des nombres plus grands, une stratégie nouvelle peut s’avérer intéressante.
Par exemple avec « 130 » en haut et « 15 » et « 17 » aux extrémités de la base, la procédure par essais devient beaucoup plus longue et incite à considérer les deux briques intermédiaires comme sommes de « 15 et du nombre encore indéterminé de la base » et « du nombre encore indéterminé de la base » et « 17 ». Ce « nombre de la base » reste provisoirement indéterminé mais devra être compté deux fois dans la brique du haut, avec « 15 » et « 17 » comptés chacun une seule fois. On entre ainsi dans un raisonnement pré-algébrique, sans ses écritures littérales, avec une égalité lacunaire.
120 = 15 + 17 + 2 x ...
à compléter en quelques étapes par une addition de 15 + 17= 32 puis le calcul de l’écart entre 32 et 120 par une soustraction qui conduira à 88 et finalement par une division par 2 ou la multiplication lacunaire: 2 x ... = 88.
Une autre exploitation est le passage des nombres naturels aux nombres décimaux, déjà mentionné.
De même, ces pyramides pourraient être utilisés pour introduire le passage des nombres naturels au nombres entiers négatifs si, par exemple, on remplace les deux nombres 5 et 7 par 15 et 17 en laissant le nombre 30 au sommet.
Il y a encore d’autres exploitations en laissant plusieurs possibilités ou une infinité ...
Les variations sur ce thème des nombres disposés en pyramide sont très nombreuses et constituent autant de petites énigmes arithmétiques.
Propositions : Après avoir proposé le problème à toute la classe, en groupes et avoir rapidement vérifié les solutions, passer à de nouvelles pyramides comme celles suggérées ci-dessus.
Voir aussi les problèmes Pyramides (05.I.02) ; Pyramides de briques I (21.I.03) ; Pyramides de briques II (21.I.12)
Jaquet F. (2024) Analyses de la finale internationale de 2024. In Gazette de Transalpie / Gazzetta del Trasalpino 15. pp.77-128