Année particulière

Identification

Rallye: 30.II.09 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaines: OPQ, LR
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• LO - Effectuer des déductions
• LO/NU - Effectuer des déductions avec des contraintes numériques

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Résumé

Trouver les années où le rapport entre les âges de deux personne (qui ont respectivement 60 et 20 ans le même jour en 2023) est un nombre naturel.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Appropriation

Comprendre que chaque année l’anniversaire des deux personnes sera le 1 mai, que ce jour-là les deux âges sont des nombres naturels, qu’il est donc possible de calculer le quotient du grand nombre par le petit, mais que ce quotient sera différent d’une année à l’autre alors que la différence entre les nombres restera constante : 40 ans.

Savoirs

Les savoirs nécessaires se rapportent au calcul des rapports de deux nombres naturels dont la différence est constante et à la reconnaisance de ces rapports lorsqu'ils sont entiers.

Procédures

- Etablir une liste, chronologique dès la naissance de Zoé en 2003, des âges de chacune des deux personnes, et des quotients en retenant ceux qui sont entiers: 2003 ne convient pas (quotient de 40 par 0!), 41 en 2004 (41/1), 21 en 2005 (42/2), 11 en 2007 (44/4), 9 en 2008 (45/5), 6 en 2011 (48/8), 5 en 2013 (50/10), 3 en 3023 (60/20) et 2 en 2043 (80/40) puis comprendre alors qu’il est vain d’attendre le quotient 1 avec une différence constante !

- Pour le mathématicien, il est possible de limiter la "liste chronologique" aux années où l'âge de Zoé est un diviseur de 40. (Voir rubriques "Exploitations didactiques" et "Pour aller plus loin".

Notions mathématiques

addition, somme, différence, division, rapport, nombre naturel, nombre rationnel, durée

Résultats

30.II.09

Points attribués, sur 3058 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Liste complète des années particulières (2004;41, 2005;21, 2007;11, 2008;9, 2011;6, 2013;5, 2023;3, 2043;2) avec les quotients obtenus (les « explications ne sont pas nécessaires car cette liste à elle seule fait comprendre que les élèves ont fait un inventaire systématique et qu’ils ont éliminé les quotients non entiers
• 3 points: Réponse correcte avec explications peu claires (essais mal exprimés, graphique difficile à comprendre, …)
  ou découverte de l’âge de Francesca (11), et les années passées (22) mais sans effectuer les calculs pour déterminer l’âge de F en 2017
  ou réponse erronée due à une seule erreur de calcul mais avec explications claires et complètes
• 2 points: Réponse correcte avec seulement une vérification
  ou réponse erronée avec deux erreurs de calcul mais avec explications complètes
• 1 point: Réponse correcte sans explication
  ou début de raisonnement correct
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

On ne dispose pas encore d'analyse a posteriori des copies. Au vu des résultats ci-dessus, il faudra chercher à comprendre comment une majorité de groupes ne sont pas rrivés à un inventaire exhaustif des années.

Exploitations didactiques

L'exploitation didactique, en classe, doit permettre de sensibiliser les élèves à la recherche de quotients entiers, qui sont des nombres rationnels particuliers et de trouver une manière systématique de les trouver.

Pour des élèves de catégories 7 à 10, on peut envisager de remplacer l'inventaire chronologique année par année pour se limiter à celles qui donneront un quotient entier en faisant appel à la "distributivité" de la division sur l'addition. (voir rubrique suivante)

Pour aller plus loin

Il y a 8 quotients entiers de deux nombres naturels dont la différence est 40: 41, 21, 11, 9, 6, 5, 3 et 2 Si la différence étai 2, ou 3, ou 5, il n'y aurait que 2 quotient entiers. Si la différence étai 4, il y aurait 3 quotient entiers. Peut-on prévoir combien il y en aurait pour d'autres différences ?

Un joli problème pour travailler sur les quotients entiers et les diviseurs d'un nombre !!