Un anno speciale

Identificazione

Rally: 30.II.09 ; categorie: 5, 6, 7 ; ambiti: OPQ, LR
Famiglie:

• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• LO - Effettuare deduzioni
• LO/NU - Effettuare deduzioni con vincoli numerici

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Sunto

Trovare gli anni in cui il rapporto tra le età di due persone (che hanno rispettivamente 60 e 20 anni nello stesso giorno del 2023) è un numero naturale.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Appropriazione

Capire che ogni anno il compleanno delle due persone sarà il 1° maggio, che in quel giorno le due età sono numeri naturali, che è quindi possibile calcolare il quoziente tra il numero maggiore e quello minore, ma che questo quoziente sarà diverso di anno in anno mentre la differenza tra i numeri rimarrà costante: 40 anni.

Saperi

I saperi necessari riguardano il calcolo dei rapporti di due numeri naturali la cui differenza è costante e il riconoscimento di tali rapporti quando sono interi.

Procedure

- Stabilire un elenco, cronologico dalla nascita di Zoé nel 2003, delle età di ciascuna delle due persone, e i quozienti, conservando quelli interi: 2003 non è adatto (quoziente di 40 per 0!), 41 nel 2004 ( 41/1), 21 nel 2005 (42/2), 11 nel 2007 (44/4), 9 pollici 2008 (45/5), 6 nel 2011 (48/8), 5 nel 2013 (50/10), 3 nel 3023 (60/20) e 2 nel 2043 (80/40), capire allora che è vano aspetta il quoziente 1 con una differenza costante!

- - Per il matematico è possibile limitare "l'elenco cronologica" agli anni in cui l'età di Zoé è un divisore di 40. (Vedi sezioni "Indicazioni didattiche didattici" e "Per andare più lontano"

Nozioni matematiche

addizione, somma, differenza, divisione, rapporto, numero naturale, numero razionale, durata

Risultati

30.II.09

Punteggi attribuiti, su 3058 classi di 20 sezioni:

Secondo i critères dell'analisi a priori :

• 4 punti: L’elenco delle otto date speciali (2004, 2005, 2007, 2008, 2011, 2013, 2023, 2043) con i quozienti ottenuti (le spiegazioni non sono necessarie perché l’elenco completo è il solo modo per verificare che gli alunni hanno effettuato un inventario sistematico e che hanno eliminato i quozienti non interi)
• 3 punti: Un errore nella lista
  oppure dimenticato di menzionare l’anno futuro 2043)
• 2 punti: Due o tre errori nella lista comprensiva anche dell’anno futuro
• 1 punto: Da quattro a sei errori nella lista comprensiva anche dell’anno futuro
• 0 punto: Incomprensione del problema
  oppure più di 6 errori

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Non disponiamo ancora di un'analisi a posteriori degli elaborati. Alla luce dei risultati sopra esposti, bisognerà cercare di comprendere come la maggior parte dei gruppi non sia giunta ad un inventario esaustivo degli anni.

Indicazioni didattiche

L'utilizzo didattico in classe dovrebbe consentire di sensibilizzare gli allievi alla ricerca dei quozienti interi, che sono numeri razionali particolari, e di trovare un modo sistematico per scoprirlii.

Per gli allievi delle categorie da 7 a 10, si può sostituire l'inventario cronologico anno per anno per limitarci a quelli che daranno un quoziente intero facendo appello alla "distributività" della divisione sull'addizione. (vedi sezione successiva).

Per andare più lontano

Ci sono 8 quozienti interi di due numeri naturali la cui differenza è 40: 41, 21, 11, 9, 6, 5, 3 e 2. Se la differenza fosse 2, o 3, o 5, ci sarebbero solo 2 quozienti interi. Se la differenza fosse 4, ci sarebbero 3 quozienti interi. Possiamo prevedere quanti ce ne sarebbero per altre differenze?

Un bel problema per lavorare sui quozienti interi e sui divisori di un numero naturale!!