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Papillons sur fenêtres

Identification

Rallye: 31.I.04 ; catégories: 3, 4, 5 ; domaines: OPN, AL
Familles:

Résumé

Trouver un nombre d’objets tel qu’il en reste 2 si on les regroupe par 4 et qu’il en manque 3 si on voulait les regrouper par 5.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

S’approprier le contexte : nombre de fenêtres à déterminer, après la 4e distribution il y a encore 2 papillons à placer et pour en avoir 5 il aurait fallu en préparer 3 de plus.

Les savoirs mobilisés se rapportent à la division euclidienne (ou "avec reste"): être conscient que le "reste" et "ce qui manquerait" si l'on augmentait de 1 le diviseur sont complémentaires, leur somme est le quotient entier. (Algébriquement, si P est le nombre total de papillons, si F est le nombre de fenêtres, les deux relations de l'énoncé se traduisent par les deux équations P = 4F + 3 et P = 5F - 2 qui aboutissent à F = 3 + 2 = 5.

- Comprendre que les 2 papillons déjà préparés et les 3 qui n’ont pas été préparés sont 5 papillons à distribuer, un par fenêtre, et que, après cette distribution imaginée, chaque fenêtre aurait alors 5 papillons. En déduire qu’il y a 5 fenêtres.

La demande du nombre de papillons qui ont été préparés permet de vérifier la réponse précédente : 5 fenêtres avec chacune 5 papillons représenterait 25 papillons, mais comme il en manque 3, il y a 22 papillons préparés, qui correspondent bien à 5 fenêtres avec 4 papillons et 2 papillons encore à placer.

- La solution peut aussi être trouvée en commençant par la recherche du nombre de papillons à préparer, sans connaître encore le nombre de fenêtres. Il faut alors constater que les nombres possibles de papillons préparés valent 2 de plus qu’un multiple de 4 (4 par fenêtre et un reste de 2) et pour chacun de ces essais du nombre de fenêtres, vérifier que, en ajoutant 3 papillons on arriverait à un multiple de 5 (fenêtres pleines ayant chacune 5 papillons) :

avec 1 fenêtre 4 + 2 = 6 , mais 6 + 3 = 9 ne convient pas,

avec 2 fenêtres 2 x 4 + 2 = 10, mais 10 + 3 = 13 ne convient pas,

…

avec 5 fenêtres 5 x 4 + 2 = 22 ; 22 + 3 = 25 convient.

Cette procédure est possible pour les élèves qui ont déjà une perception généralisée des ensembles « multiples de 4 augmentés de 2 » et/ou « multiples de 5 diminués de 3 »

Notions mathématiques

arithmétique, addition, soustraction, multiplication, division euclidienne, divisibilité

Résultats

31.I.04

Points attribués sur 2290 classes de 20 sections:

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 3	205 (31%)	123 (19%)	117 (18%)	79 (12%)	132 (20%)	656	1.71
Cat 4	145 (18%)	109 (13%)	167 (21%)	112 (14%)	278 (34%)	811	2.33
Cat 5	70 (9%)	93 (11%)	184 (22%)	136 (17%)	340 (41%)	823	2.71
Total	420 (18%)	325 (14%)	468 (20%)	327 (14%)	750 (33%)	2290	2.29
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponse correcte « 5 fenêtres et 22 papillons », avec détail des opérations faisant apparaître la « vérification du genre 5 x 4 + 2 = 22 et 22 + 3 = 25 ou 5 x 5 ou une représentation graphique ou description verbale de la procédure
3 points: Réponse correcte, avec indications peu claires de la procédure suivie
2 points: Réponse correcte sans aucune explication
ou une seule des deux réponses, avec explications
ou réponse « 5 fenêtres et 25 papillons », avec explications)
1 point: Traces de calculs ou dessins montrant une appropriation correcte de la demande mais sans arriver à une solution
ou réponse « 5 fenêtres et 25 papillons », sans explications
0 point: Incompréhension du problème.

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Ce problème reprend les mêmes données numériques que Collection de motos (cat. 3-5 20.I.05) dans un contexte où le texte décrit la distribution pas à pas. Les résultats sont nettement supérieurs. Ce sont les analyses a posteriori comparatives qui pourront expliquer l'augmentation des fréquences des réponses correctes.

Exploitations didactiques

Les constatations précédentes et celles de nombreuses autres analyses a posteriori d'autres problèmes font apparaître la nécessité absolue d'un travail sur le concept de division euclidienne, abordé très tôt dans les programmes scolaires en lien avec la "division avec reste".

le besoin de calculer un quotient naturel et un reste naît dans des situations de partage ou de répartition d'une quantité ("Dividende") en parties équivalentes ("diviseur") afin de trouver le plus grand nombre possible de ces parties ("quotient entier", q) et ce qui n'a pas pu être réparti ("reste").

Il faut remarquer, en passant, que la recherche du couple (quotient entier ; reste) à partir du couple donné (Dividende; diviseur) est différente des opérations déjà connues par l'élève (l'addition, la soustraction et la multiplication) car à un couple de nombres données on n'obtient pas un seul nombre (la somme, la différence et le produit) mais un nouveau couple et il n'y a donc pas de signe d'opération (+, - , x) ni de signe d'égalité.

La relation, attribuée à Euclide, entre les quatre nombres (que nous désignons ici par les lettres D, d, q et r) est multiplicative et additive: D = (d x q) + r est un des fondements de l'arithmétique dans l'ensemble des nombres naturels et pourra être étendu à tous les nombres entiers.

Les programmes et la tradition scolaire "ignorent" cette relation. Les élèves l'ont peut-être construite à l'origine mais ils n'en sont plus conscients car leurs pratiques de calcul ont été exclusivement concentrées sur l'aspect algorithmique de la division avec reste.

La phase de mise en commun des différentes manières de trouver le nombre de fenêtres et le nombre de papillons semble donc l'occasion de "revenir" à l'origine de la relation entre le nombre total de papillons préparés, les deux distributiond de 4 puis de 5 "papillons par fenêtre", les nombres de fenêtre, les nombres "en trop" ou "qui manquent".

Par exemple, dans la distribution de 4 papillons par fenêtre avec un reste de 2, devraient apparaître 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, ... qui sont "l'ensemble des nombres dont le reste est 2" de la division par 4 ou les "multiples de 4 auquel on a jouté 2". Dans la distribution de 5 papillons par fenêtre, devraient apparaître 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, ... qui sont "l'ensemble des multiples de 5 auquel on a soustrait 3" ...

Ce sont les analyses a posteriori de copies recueillies après la première épreuve du 31e RMT ou, mieux, les données rapportées par les enseignants qui proposeront le problème Papillons sur fenêtre qui pourront en dire plus sur la construction du concept de "division euclidienne".