Farfalle sulle finestre

Identificazione

Rally: 31.I.04 ; categorie: 3, 4, 5 ; ambiti: OPN, AL
Famiglie:

• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQL - Risolvere un sistema di equazioni lineari
• MUL - Moltiplicare numeri naturali ed effettuare divisioni con resto

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Sunto

Trovare un numero di oggetti che se raggruppati per 4 ne avanzano 2 e se raggruppati per 5 ne mancano 3.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Appropriarsi del contesto: numero delle finestre da determinare, dopo la 4ª distribuzione ci sono ancora 2 farfalle da attaccare e per averne 5 su ogni finestra occorreva prepararne altre 3.

La conoscenza mobilitata riguarda la divisione euclidea (o "divisione con resto"): essendo consapevoli che il "resto" e "ciò che mancherebbe" se il divisore fosse aumentato di 1 sono complementari, la loro somma è il quoziente dei numeri interi. (Algebricamente, se P è il numero totale di farfalle, se F è il numero di finestre, le due relazioni nell'enunciato si traducono nelle due equazioni P = 4F + 3 e P = 5F - 2 che danno come risultato F = 3 + 2 = 5.

- Capire che le 2 farfalle già pronte e le 3 che non sono state preparate sono 5 farfalle da distribuire, una per finestra, e che, dopo aver immaginato questa distribuzione, ogni finestra avrà 5 farfalle. Dedurre quindi che nell’aula ci sono 5 finestre.

- La richiesta del numero di farfalle che sono state preparate permette di verificare la risposta precedente: 5 finestre con 5 farfalle ciascuna corrisponderebbe a 25 farfalle, ma poiché ne mancano 3, ci sono 22 farfalle preparate, che corrispondono a 5 finestre con 4 farfalle e 2 farfalle ancora da posizionare.

- La soluzione può essere trovata anche cominciando dalla ricerca del numero di farfalle da preparare, senza conoscere ancora il numero di finestre. Bisogna allora constatare che i numeri possibili valgono 2 in più di un multiplo di 4 (4 per finestra e un resto di 2) e per ciascuna di queste prove del numero di finestre, verificare che, aggiungendo 3 farfalle si arriverebbe ad un multiplo di 5 (finestre con 5 farfalle ciascuna):

in una finestra 4 + 2 = 6, ma 6 + 3 = 9 non va bene,

in 2 finestre 2  4 + 2 = 10, ma 10 + 3 = 13 non va bene,

...

in 5 finestre 5  4 + 2 = 22; 22 + 3 = 25 va bene.

Questa procedura è possibile per gli alunni che hanno già una percezione dei "multipli di 4 aumentati di 2" e/o "multipli di 5 diminuiti di 3"

Nozioni matematiche

aritmetica, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione euclidea, divisibilità

Risultati

31.I.04

Punteggi attribuiti su 2290 classi de 20 sezioni:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 punti: Risposte corrette “5 finestre e 22 farfalle”, con indicazione dettagliata delle operazioni che indicano la verifica del tipo 5 × 4 + 2 = 22 e 22 + 3 = 25 o 5 × 5 = 25 o con rappresentazione grafica chiara o descrizione verbale del procedimento seguito
• 3 punti: Risposte corrette con indicazione poco chiara della procedura
• 2 punti: Risposte corrette senza alcuna spiegazione
  oppure una sola delle due risposte con spiegazione
  oppure “5 finestre e 25 farfalle” con spiegazione
• 1 punto: Tracce di calcoli o disegni che mostrano un'appropriazione corretta delle domande ma senza giungere ad una soluzione
  oppure una sola delle due risposte senza spiegazione
  oppure “5 finestre e 25 farfalle” senza spiegazioni
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Questo problema utilizza gli stessi dati numerici di La collezione di modellini (cat. 3-5 20.I.05) in un contesto in cui il testo descrive la distribuzione passo dopo passo. I risultati sono significativamente migliori. Le analisi comparative a posteriori spiegheranno l'aumento della frequenza delle risposte corrette.

Indicazioni didattiche

Le osservazioni precedenti, insieme a quelle di numerose altre analisi a posteriori di altri problemi, evidenziano l'assoluta necessità di lavorare sul concetto di divisione euclidea, introdotto molto presto nei programmi scolastici in relazione alla "divisione con resto".

La necessità di calcolare un quoziente naturale e un resto sorge in situazioni che comportano la suddivisione o la distribuzione di una quantità (Dividendo D) in parti equivalenti (divisored d) al fine di trovare il maggior numero possibile di queste parti (quoziente intero, q) e ciò che non è stato possibile distribuire (resto r).

Il faut remarquer, en passant, que la recherche du couple (quotient entier ; reste) à partir du couple donné (Dividende; diviseur) est différente des opérations déjà connues par l'élève (l'addition, la soustraction et la multiplication) car à un couple de nombres données on n'obtient pas un seul nombre (la somme, la différence et le produit) mais un nouveau couple et il n'y a donc pas de signe d'opération (+, - , x) ni de signe d'égalité.

La relation, attribuée à Euclide, entre les quatre nombres (que nous désignons ici par les lettres D, d, q et r) est multiplicative et additive: D = (d x q) + r est un des fondements de l'arithmétique dans l'ensemble des nombres naturels et pourra être étendu à tous les nombres entiers.

Les programmes et la tradition scolaire "ignorent" cette relation. Les élèves l'ont peut-être construite à l'origine mais ils n'en sont plus conscients car leurs pratiques de calcul ont été exclusivement concentrées sur l'aspect algorithmique de la division avec reste.

La phase de mise en commun des différentes manières de trouver le nombre de fenêtres et le nombre de papillons semble donc l'occasion de "revenir" à l'origine de la relation entre le nombre total de papillons préparés, les deux distributiond de 4 puis de 5 "papillons par fenêtre", les nombres de fenêtre, les nombres "en trop" ou "qui manquent".

Par exemple, dans la distribution de 4 papillons par fenêtre avec un reste de 2, devraient apparaître 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, ... qui sont "l'ensemble des nombres dont le reste est 2" de la division par 4 ou les "multiples de 4 auquel on a jouté 2". Dans la distribution de 5 papillons par fenêtre, devraient apparaître 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, ... qui sont "l'ensemble des multiples de 5 auquel on a soustrait 3" ...

Ce sont les analyses a posteriori de copies recueillies après la première épreuve du 31e RMT ou, mieux, les données rapportées par les enseignants qui proposeront le problème Papillons sur fenêtre qui pourront en dire plus sur la construction du concept de "division euclidienne".

Per andare più lontano

Les problèmes suivants peuvent inspirer des activités complémentaires:

Moutons (cat. 4-6 5.II.08)

Les biscuits d'Emilie (cat. 6-9 13.I.12)

Collection de motos (cat. 3-5 20.I.05)

Les abricots (cat. 6-8 21.II.11)

Sac de haricots (cat. 8-10 25.II.15)

Les tours (cat. 5-6 26.II.07)

Arc en ciel (cat. 5-7 31.II.10)

Division par 7 (cat. 8-10 31.II.15)

Bibliografia

Jaquet F. Spatoloni R. (2024) À propos de division euclidienne. In Gazette de Transalpie / Gazzetta del Trasalpino 14. pp.25-45