Banca di problemi del RMT
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Trovare, in un contesto di distribuzione, tutti i multipli di 5 minori di 90 che valgono 1 in più di un multiplo di 7; e calcolare il quoziente della loro divisione intera per 7.
L'appropriazione della situazione deve tenere conto del numero di figurine distribuiti equamente in 5 buste, sapendo che questo numero è inferiore a 90; quindi la distribuzione equa di questo stesso numero tra 7 persone, con un resto di 1. Ma la domanda non riguarda questo numero, bensì quello delle quote da assegnare a ciascuna persona, nella forma "Quante figurine può ricevere ogni amico?", il che dovrebbe incoraggiare lo studente a percepire che ci saranno diverse soluzioni.
I saperi mobilitati sono l'insieme dei multipli di 5 minori di 90; l'insieme dei numeri la cui divisione per 7 dà resto 1 (o "classe di resto 1 della divisione per 7") e l'intersezione dei due insiemi.
- L'insieme dei multipli di 5 deriva dalla "traduzione" di "cinque buste e ciascuna di esse contiene lo stesso numero di figurine": 85; 80; 75; ... 5; 0
- La classe di resto 1 della divisione per 7 utilizza l'insieme dei multipli di 7 a cui è stato aggiunto 1: numeri della forma (7 x q) + 1 secondo la relazione di Euclide: 1; 8; 15; 22; 29; 36; 43; 50; 57; 64; 71; 78; 85; ...
- La procedura di risoluzione esaustiva consiste nel trovare l'intersezione di questi due insiemi composti dai tre numeri: 15, 50 e 85 per dedurre la quota di ciascuna delle sette persone: 2 o 7 o 12 vignette.
multipli, divisione euclidea, addizione, sottrazione, moltiplicazione
Punteggi attribuiti su 2134 classi di 18 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 277 (34%) | 218 (27%) | 217 (26%) | 42 (5%) | 66 (8%) | 820 | 1.27 |
| Cat 6 | 449 (34%) | 398 (30%) | 316 (24%) | 64 (5%) | 87 (7%) | 1314 | 1.19 |
| Totale | 726 (34%) | 616 (29%) | 533 (25%) | 106 (5%) | 153 (7%) | 2134 | 1.22 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell'analisi a priori :
Les résultats ci-dessus font apparaître une constance des moyennes de points obtenues de la catégorie 5 à la catégorie 6 et une "incompréhension du problème pour un tiers environ des copies examinées.
Parmi la majorité des copies examinées auxquelles les correcteurs ont attribué "0 point" ou "1 point", on trouve de nombreuses tentatives qui ne sont pas vraiment à classer comme "incompréhension du problème" mais qui témoignent de l'immaturité de la perception de division avec reste. (Les exemples suivants sont tirés des copies de catégorie 6 de la section de SI.)
Exemple 1.
90 : 7 = 12
12 x 7 = 84. Alberto darà 12 figurine ad ciascuno dei suoi 7 amici.
Les élèves ont compris qu'il y a une division de par 7 à effectuer mais en prenant le 90 de la donnée et en ignorant le reste de 1. L'égalité 90 : 7 = 12 est évidemment incorrecte!
Exemple 2.
La division 90 : 5 = 18 est très fréquente (mais inutile pour la résolution). L'écriture 7 . 12 = 84 semble indiquer la solution mais la liste qui suit et les explications le démentent. A noter: la confusion systématique entre "- 1" et "+ 1" qui associe le reste de 1 à une soustraction alors qu'il s'agit de "1 en trop" et la référence au "livret du 7" qui le perçoivent justement comme les "multiples de 7".
Traduction du texte: Si les vignettes sont moins de 90 il suffit de multiplier le 7 par un nombre possible de vignettes qui donne un nombre de - 90 et alors c'est tout la livret du 7 qui ne dépasse pas 90. Puis il faut enleverune vignette parce qu'il doit rester 1.
Exemple 3
... (90 : 7) = 12 e 6 figurine che da agli amici. (... et 6 vignettes qu'il donne aux amis.)
(6 - 5) = 1 figurine che tiene per se. (... et 1 vignettes qu'il garde pour soi.)
RISPOSTA Ogni amico può ricevere 12 figurine. (Chaque ami peut recevoir 12 vignettes)
SPIEGAZIONE Abbiamo diviso tutte le figurine per gli amici e resto abbiamo capito che in ogni bustina ci sarà 1 figurina. Alberto la terrà per se (Nous avons divisé toutes les vignettes et le reste nous avons compris que dans chque enveloppe il y aura 1 vignette. Albert la gardera pour soi.)
On retrouve l'écriture de la division de 90 par 7, incorrecte mais le quotient 12 et le reste 6 y figurent. Si l'énoncé avait proposé "moins de 100" au lieu de "moins de 90" ces élèves auraient divisé 100 par 7 et trouvé un quotient entier de 14.
A ce propos, pour une reprise du problème en classe, il serait judicieux de modifier l'énoncé en remplaçant ... il lui reste moins de 90 vignettes par ... il lui reste moins de 100 vignettes. afin d'éviter l'erreur "90 : 7 = 12" qui fait, par hasard, apparaître le 12 qui est une des trois réponses du problème.
Exemple 4
Traduction: Pour résoudre le problème nous avons initialement fait 90 : 8 = 11 (90 : vignettes, 8 : enfants + Albert). puis nous avons relu le problème en lisant qu'il y moins de 90 vignettes et sont un nombre impair. Nous sommes arrivés àmla conclusion que 90 : 7 = 12 avec un resto de 1. Donc chaque ami en reçoit 12 en comptant l'un.
Ici encore, les divisions s'arrêtent à l'approximation au nombre entier du quotient, sans montrer l'algorithme ni la détermination du reste. mais le "savoir" que Messi porte le numéro 10 avec les couleurs de son club est acquis !!.
Exemple 5
Abbiamo cercato dei multipli di 5 + 1.
La liste va de 26, 31, 36, 41 ... jusqu'à 86 avec 3 nombres complétés par les àcriture 36 Diviso 7 ––> reste 1 ; 56 : 7 = 8 ––> nessun resto et 71 : 7 = 10 ––> resto 1
La scelta è tra 71 e 36. Ogni amico può ricevere 5 figurine o 10 figurine.
Les élèves ont perçu les multiples de 5 auxquels on ajoute 1 comme des nombres qui donneront un reste de 1. Mais ils auraient dû dresser la liste des multiples de 7 et y ajouter 1: 1, 8, 15, ... 85.
Exemple 6
Dati: - 90
Op: 85:5 = 17, figurine in ogni busta (vignettes dans chaque enveloppe)
86 - 85 = 1, visto che avanza ad Alberto resta una figurina. Alberto aveva 86 figurine. (Vu qu'une vignette reste à Albert. Albert avait 86 vignettes.
Risposta: Alberto da ad ognuno dei suoi amici 17 figurine. (Réponse: Albert donne à chacun de ses amis 17 vignettes.)
Le premier multiple de 5 inférieur à 90 a été choisi (comme dans la plupart des cas), puis la division par 5 a donné le nombre de vignettes dans une enveloppe, confondu avec celles données aux amis. Il n'y a pas de division par 7 et le reste de 1 est ajouté à 85.
Exemple 7
Les données : "90 vignettes moins à la fin", 5 enveloppes et "7 amis" se retrouvent dans la suite des opérations mais
Ces sept exemples témoignent de la difficulté à s'approprier la situation et de l'énorme travail qui reste à faire dans la construction du savoir "division euclidienne" (ou "avec reste")
Pour les autres groupes d'élèves (de 30 à 40 %) avec des attributions de points allant de 2 à 4 (voir les critères) la grande majorité ont trouvé une seule solution et quelques-uns deux ou les trois solutions. (environ 10 %.
L'analyse de leurs copies montre cependant des niveaux très différents de construction des concepts en jeu.
Exemple 8
Abbiamo scritto tutti i numeri che vanno da 0 a 90 divisibili per 5 e gli abbiamo divisi uno a una per 7. E quelli che tornavano uno erano il risultato ; 15 ; 50 ; 75.
(Nous avons écrit tous les nombres de 0 à 90 divisibles par 5 et les avons divisé un à un par 7. Ceux dont le reste était 1 étaient le résultat : 15, 50 et 75.)
Ces élèves ont perçu l'ensemble (T
oppureS) des multiples de 5 inférieurs à 90 (selon la donnée 5 enveloppes contenant le mêm nombre d vignettes.) Ils n'ont cependant pas perçu la classe de restes 1 de la division par 7 et ont dû par conséquent effectuer toutes les divisions avec reste. (Ils ont fait une erreur en relevant les résultats: 75 au lieu de 85 et n'ont pas noté le nombre de vignettess reçu par chacun.)
Exemple 9
1) 85 : 5 = 17 , 85 - 1 = 84 , 84 : 7 : 12
2) 50 : 5 = 10 , 50 - 1 = 29 , 49 : 7 : 7
3) 15 : 5 = 3 , 15 - 1 = 14 , 14 : 7 : 2
Dopo aver letto il testo, abbiamo cominciato a fare vari tentativi: il primo è con 85 perché 85 : 5 (le buste) viene 17 quindi ogni busta contiene 17 figurine, sottraendo a 85 uno (la figurina che resta ad Alberto) viene 84 e dividendolo par 7 viene 12 quindi ogni amico riceve 12 figurine. Lo stesso l'abbiamo fatto con 50 e poi con 15.
(Après avoir lu l'énoncé nous avons commencé à faire des essais: le premier est 85 parce que 85 : 5 (les enveloppes) donne 17 donc chaque enveloppe contient 17 vignettes, en soustrayant un (la vignette qui reste à Albert) on arrive à 84 qui, divisé par 7 donne 12 et chaque ami reçoit 12 vignettes. Nous avons fait la même chose pour 50 puis pour 15.)
La procédure est "par essais" selon les élèves mais il est probable que ces essais se sont progressivement limités aux nombres se terminant par 0 ou par 5. Le calcul du nombre de vignettes par enveloppe se retrouve dans presque toutes les copies, bien qu'il ne soit pas demandé, ni nécessaire pour la suite.
Exemple 10
Risposta
85 : 5 = 17 85 = 7 = 12 resto 1
Spiegazione: dopo aver letto il testo si siamo accordi che il numero i figurine era meno i 90 e les buste cinque, quindi doveva essere un numero meno di 90 ma nella tabellina de 5. Quello più grande era 85, quindi abbiamo fatto 85 : 5 = 17 e 85 : 7 = 12 con il resto di 1 e quindi una figurina rimane a lui.
(Explications: après avoir lu le texte nous avons remarqué que le nombre de vignette était plus petit que 90 et les enveloppes cinq, donc il devait être un nombre plus petit que 90 mais dans le "livret" du 5. Le plus gran était 85, donc nous avons fait 85 : 5 = 17 avec un reste de 1, un vignette qui lui reste.)
C'est la réponse de loin la plus fréquente, où seule le plus grand multiple de 5 est pris en compte. La référence au "livret du 5" figure dans de nombreuses copies à la place de "multiple de 5" qui est beaucoup moins fréquente.
Les exemples précédents montrent que le savoir "division euclidienne" est à construire ou reprendre dès son début. Pour la grande majorité des élèves ce savoir ne dépasse pas le stade dune application mécanique d'un algorithme qui ne pourra être compris que beaucoup plus tard.
Après avoir proposé à la classe, en travail par groupes, l'énoncé du problème (dans sa version "moins de 100", la mise en commun des résultats au cours de laquelle la parole est encore aux élèves, ceux qui ne s'étaient pas approprié la sitution pourront le faire.
Lors du débat sur les solutions, l'enseignant devra profiter de valoriser tous les éléments essentiels de la division euclidienne:
- L'appartenance du nombre total de vignettes à un ensemble de multiples, ceux de 5 en l'occurence, dont il ne faut considérer que les premiers (inférieurs à 100 selon la nouvelle version de l'énoncé). Leur énumération est la bienvenue pour que les élèves se rendent compte qu'il y aura une vingtaine de possibilités à examiner avec la seconde information.
- La relation d'Euclide à propos du reste de la division par 7, ou la "clé" du problème: les nombres de vignettes à examiner valent un de plus qu'un multiple de 7. On pourra faire remarquer à ce propos que l'écriture (par exemple 90 : 7 = 12 reste 6 est incorrecte et que l'égalité correcte est 90 = (12 x 7) + 6).
- le nombre des restes qu'on peut obtenir par la division par 7 est aussi 7, ces restes sont tous les nombres naturels ) inférieurs à 7: 0 (à ne pas ignorer, dans le cas où le nombre de vignettes est aussi un multiple de 7 comme 70 et 35), 15, 50 et 85.
Il y a deux procédures d'examen des multiples de 5 à retenir: les essais successifs qui exigent l'application de l'algorithme de la division pour la vingtaine des candidats, un à un, et la procédure "en compréhension" qui consiste à identifier les éléments de l'ensemble des "multiples de 7 auxquels on a ajouté 1": 1, 8, 15, 22, 29, ..., 43 , 50, 57 ... et à vérifier que 15, 50 et 85 figurent dans les deux listes.
Il est évident que la pridse de conscience des propriétés ci-dessus ne se fera pas automatiquement et simultanément pour tous les élèves de la classe au cours de la mise en commun. Chacun devra ensuite rédiger personnellement sa solution et exprimer sa procédure en fonction de ce que ses camarades ont expliqué et discuté. Certains, par exemple, en resteront à la découverte des nombres possibles de vignettes par essais successifs, d'autres arriveront au concept plus élaboré de l'intersection d'ensemble. L'important est de prendre du temps pour "létude des multiples de 5 et de 7 auquel on a ajouté 1" inférieurs à 100.
f.j. 2025
L'activité Les vignettes d'Albert appelle naturellement des développement et de nombreuses questions nouvelles sur ces trois fameux nombres d'objets (15, 50 et 85) qu'on peut répartir équitablement dans cinq récipants et mais qu'on ne peut pas partager entre 7 amis sans qu'il n'en reste toujours 1.
- Pour occuper ceux qui ont toujours terminé avant les autres :et so on avait pas limité à "moins de 100" le nombre de vignettes mais à "moins de 200" ou encore à "moins de 1000".
- En restant sur les nombres dont le reste est 1 lorsqu'on les divise par un nombre naturel, il y a les nombreuses questions, que les élèves peuvent aussi imaginer, du genre: Tous les nombres de la famille "Restun" ont un reste de 1 lorsqu'on les divises par 2, par 3, par 4, par 5 et par 6. Quel est le plus petit de cette famille ?. Ces questions font le lien avec les activités de recherche de multiples communs.
Le problème Arc en ciel (cat. 5-7 31.II.10), sous forme d'inventaire de nombres en couleur est à la base de la recherche des ensembles de nombres avec un même reste lorsqu'on les divise par 7. Il convient particulièrement bien pour les catégories 4 à 7 ou 8, avant de passer à sa variante Division par 7 (cat. 8-10 31.II.15).
D'autres problèmes peuvent aussi inspirer des activités complémentaires:
Les biscuits d'Emilie (cat. 6-9 13.I.12)
Collection de motos (cat. 3-5 20.I.05)
Les abricots (cat. 6-8 21.II.11)
Sac de haricots (cat. 8-10 25.II.15)
Arc en ciel (cat. 5-7 31.II.10)
Division par 7 (cat. 8-10 31.II.15)
Jaquet F. Spatoloni R. (2024) À propos de division euclidienne. In Gazette de Transalpie / Gazzetta del Trasalpino 14. pp.25-45