Banque de problèmes du RMT
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Trouver toutes les décompositions de 30 en trois nombres pairs différents.
L’appropriation de la tâche de ce type de problèmes semble facile car il ne s’agit que d’additionner quatre nombres pairs, dont l’un est 16 pour obtenir 46 ce qui se réduit à trois nombres pairs différents pour obtenir 30. C'est cependant dans la erception qu'il y a plusieurs solutions que réside la difficulté.
Les savoirs en jeu sont ceux de l'addition et de ses propriétés, la distinction entre nombres pairs et nombres impairs, éléments de déduction logique (par exemple : "puisque la somme des quatre nombres est 46 et l'un deux est 16, alors la somme des trois autres nombres est 30" ou "puisque le plus grand est 16, il est inutile de chercher des décompositions de 30 avec des nombres plus grands ou égaux à 16").
Une procédure de résolution consiste à travailler par essais, en réduisant la recherche aux trois nombres dont la somme est 30, qu’ils sont pairs, différents, plus petits que 16 et qu’il faut organiser les essais pour ne pas oublier de solutions. (Les couleurs peuvent intervenir lorsque les sommes sont trouvées.)
Il y a évidemment de nombreuses organisations possibles, par exemple en commençant par le plus petit nombre pair, 2 et constater que la somme des deux autres devraient être 28, qu’on ne peut pas obtenir par la somme de deux nombres pairs différents plus petits que 16. Il n’y a que trois possibilités (organisées ici en commençant par le plus petit nombre dans l’ordre vert-rouge-bleu : 4 + 12 + 14 ; 6 + 10 + 14 ; 8 + 10 + 12.
nombre naturel, somme, différence, addition, soustraction, nombre pair, décomposition additive, déduction logique
Sur la base de 2287 classes de 18 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 175 (27%) | 147 (22%) | 254 (39%) | 45 (7%) | 35 (5%) | 656 | 1.42 |
| Cat 4 | 155 (19%) | 146 (18%) | 277 (34%) | 105 (13%) | 126 (16%) | 809 | 1.88 |
| Cat 5 | 88 (11%) | 109 (13%) | 299 (36%) | 145 (18%) | 180 (22%) | 821 | 2.27 |
| Total | 418 (18%) | 402 (18%) | 830 (36%) | 295 (13%) | 341 (15%) | 2286 | 1.89 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Les analyses a posteriori ne sont pas encore faites mais, à l'observation des résultats ci-dessus et des critères d'attribution des points, on constate que les réponses incomplètes (une seule solution ou deux seulement) sont les plus nombreuses.
Il faudra observer :
- la décontextualisation: traduction de l'énoncé en termes mathématiques (addition de nombres). Y a-t-il des copies où cette décontextualisation n'est pas faite: incompréhension des deux données "si on compte les billes de même couleur on trouve toujours un nombre pair" et "ces nombres sont tous différents" ; ou incompréhension de la question sous sa forme interrogative "Combien pourrait-il y avoir ..."
- la simplification : de 46 (somme de 4 termes) à 30 (46 - 16) comme somme de trois termes.
- les essais sont-ils faits au hasard où y a-t-il une organisation (à partir de 2, à partir de 14, quelle est la solution la plus fréquente parmi les trois possibles?)
- les oublis d'une des conditions (Y a-t-il des nombres impairs, des nombres égaux, des nombres plus grands que 16)
- lorsqu'une seule solution est trouvée, y a-t-il des tentatives d'en rechercher une autre ou une conviction a priori que c'est la seule possible. (un obstacle est de ne pas être capable d'imaginer l'ensemble des nombres possibles 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 pour composer 30 comme somme de trois termes et de rester fixé sur un premier choix: vision globale en compréhension ou vision d'un cas particulier.