Banque de problèmes du RMT
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Dans un sac il y a b boules blanches et n boules noires avec (n = 2b – 2). Vérifier les affirmations de trois personne sur la fraction de boules noires de leur sac (8/13 ; 7/10 et 7/11) et trouver le rapport erroné.
Analyse de la tâche a priori
- Si n et b sont les nombres de boules noires et blanches, la condition exprimée par la première phrase est n = 2b – 2.
- Se rendre compte que les affirmations d’Aldo, Bruno et Carlo sont des façons différentes d’indiquer le rapport entre le nombre de boules noires et le nombre total de boules dans chaque sac : n / (b + n).
- Considérer que pour trouver les deux nombres n et b, il faut tenir compte de deux conditions : la relation n = 2b – 2 et le fait que le rapport n / (b + n) soit égale à la fraction donnée, c’est-à-dire que les nombres n et b + n sont proportionnels au numérateur et au dénominateur des fractions.
- Procéder par essais organisés, par exemple à partir du nombre de boules blanches : on trouve facilement qu’avec 5 boules blanches et 8 noires ((8 = 2 x 5 – 2), on obtient le premier rapport 8/13 ; avec 8 boules blanches et 14 noires (14 = 2 x 8 – 2), on obtient le troisième rapport 7/11.
- Conclure que Bruno s’est trompé et chercher à justifier la réponse, par exemple en observant que les rapports augmentent selon la croissance du nombre de boules blanches mais qu’ils restent toujours inférieurs au rapport 2/3 (qui serait le rapport si les boules noires étaient le double des blanches).
Ou, procéder par essais successifs, à partir des rapports donnés : 8/13 pourrait correspondre à 8 noires et 5 blanches (13-8), ce qui convient puisque 8 est le double de 5 diminué de 2. 7/10 pourrait correspondre à 7 noires et 3 blanches ou bien 14 noires et 6 blanches mais remarquer que les boules noires seront toujours plus du double des blanches, et donc que cela ne pourra pas convenir. 7/11 convient avec 14 boules noires et 8 blanches (14 = 2 x 8 – 2).
Ou, par voie algébrique. Exprimer le rapport: nombre de boules noires/nombre de boules total, en fonction d’une variable, par exemple le nombre b de boules blanches, résoudre les trois équations :
(2b-2)/(3b-2) = 8/13 ; (2b-2)/(3b-2) = 7/10 ; (2b-2)/(3b-2) = 7/11. $
La première donne b = 5, la deuxième b = -6 n’est pas acceptable, la troisième donne b = 8.
- En conclure que Bruno s’est trompé, Aldo a 5 boules blanches et 8 noires, Carlo a 8 boules blanches et 14 noires
arithmétique, fraction, équation, système de deux équations du premier degré,
Points attribués sur 2565 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 80 (39%) | 55 (27%) | 20 (10%) | 28 (14%) | 24 (12%) | 207 | 1.33 |
| Cat 10 | 73 (40%) | 52 (29%) | 13 (7%) | 21 (12%) | 22 (12%) | 181 | 1.27 |
| Total | 153 (39%) | 107 (28%) | 33 (9%) | 49 (13%) | 46 (12%) | 388 | 1.3 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :
Les analyses a posteriori devront permettre de préciser l'analyse a priori de la tâche: et de savoir quelles sont les procédures de résolution effectivement adoptées par les élèves: les procédures algébriques sont-elles apparues ? les élèves ont-ils été conscients que le rapport entre le nombre de boules noires et le nombre total de boules dans chaque sac est : n / (b + n)? Ont-ils organisés les essais de manière systématique (par exemple pour Aldo 8 boules noires sur un total de 13; 16 noires sur un total de 26 ; ... ? Les deux contraintes "le nombre de boules noires vaut 2 de moins que le double du nombre de boue blanches" et "le rapport entre boules noires et nombre total des boules" ont-elles été identifiées et distinguées lors de la décontextualisation ?