Banca di problemi del RMT
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In un sacchetto ci sono b palline bianche e n palline nere con n = 2b – 2. Verificare le affermazioni di tre persone sul rapporto fra il numero di palline nere e il numero di palline totali del proprio sacchetto (8/13; 7/10 e 7/11) e individuare il rapporto errato.
Analisi del compito a priori
- Indicati con n il numero di palline nere e con b il numero di palline bianche, rendersi conto che la condizione espressa dalla prima frase corrisponde alla relazione n = 2b – 2.
- Rendersi conto che le affermazioni di Aldo, Bruno e Carlo sono modi diversi per indicare il rapporto fra il numero di palline nere e il numero di palline totali di ciascun sacchetto: n / (b + n).
- Considerare che per trovare i due numeri n e b occorre tenere presenti due condizioni: la relazione n = 2b – 2 e il fatto che il rapporto n / (b + n) sia uguale alle frazioni date, cioè che i numeri n e b + n siano proporzionali a numeratore e denominatore delle frazioni.
- Procedere per tentativi organizzati, per esempio a partire dal numero di palline bianche: si trova facilmente che con 5 palline bianche e 8 nere (8 = 2 5 – 2) si ha il primo rapporto 8/13; con 8 palline bianche e 14 nere (14 = 2 8 – 2) il terzo rapporto 7/11.
- Concludere che Bruno si è sbagliato e cercare di giustificare la risposta, per esempio osservando che i rapporti aumentano al crescere del numero di palline bianche ma che si mantengono sempre inferiori al rapporto 2/3 (che si avrebbe se le palline nere fossero il doppio delle bianche).
Oppure, procedere per tentativi, a partire dai rapporti dati: 8/13 potrebbe corrispondere a 8 nere e 5 (13 – 8) bianche che va bene visto che 8 è il doppio di 5 diminuito di 2; 7/10 potrebbe corrispondere a 7 nere e 3 bianche oppure 14 nere e 6 bianche ma il numero delle palline nere è sempre più del doppio del numero delle palline bianche, quindi, non potrà mai funzionare; 7/11 funziona con 14 palline nere e 8 bianche (14 = 2 x 8 – 2).
Oppure, per via algebrica. Esprimere il rapporto numero di palline nere/numero di palline totali, in funzione di una variabile, per esempio il numero b di palline bianche.
- Risolvere le tre equazioni: (2b-2)/(3b-2) = 8/13 ; (2b-2)/(3b-2) = 7/10 ; (2b-2)/(3b-2) = 7/11.
- La prima ha soluzione b = 5, la seconda b = -6 (non accettabile), la terza b = 8.
- Concludere che Bruno si è sbagliato, che nel sacchetto di Aldo ci sono 5 palline bianche e 8 nere e nel sacchetto di Carlo ci sono 8 palline bianche e 14 nere.
aritmetica, frazione, equazione, sistema di due equazioni di primo grado
Punteggi attribuiti su 388 classi de 20 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 9 | 80 (39%) | 55 (27%) | 20 (10%) | 28 (14%) | 24 (12%) | 207 | 1.33 |
| Cat 10 | 73 (40%) | 52 (29%) | 13 (7%) | 21 (12%) | 22 (12%) | 181 | 1.27 |
| Totale | 153 (39%) | 107 (28%) | 33 (9%) | 49 (13%) | 46 (12%) | 388 | 1.3 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Secondo i criteri dell'analisi a priori :
Le analisi aposteriori dovrebbero consentirci di affinare l'analisi a priori del compito e di determinare quali procedure di risoluzione siano state effettivamente adottate dagli allievi: sono comparse procedure algebriche? Gli allievi erano consapevoli che il rapporto tra il numero di palline nere e il numero totale di palline in ogni sacchetto è: n / (b + n)? Hanno organizzato le loro prove in modo sistematico (ad esempio, per Aldo, 8 palline nere su un totale di 13; 16 palline nere su un totale di 26; ecc.)? I due vincoli "il numero di palline nere è 2 meno del doppio del numero di palline bianche" e "il rapporto tra palline nere e il numero totale di palline" sono stati identificati e distinti durante la fase di decontestualizzazione?