Billes

Identification

Rallye: 31.II.08 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaine: OPN
Familles:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres
• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• ECH - Effectuer des échanges

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Résumé

Trouver deux nombres tels que, si l’on diminuait le premier de 1 et que l’on augmentait le second de 1 le second serait le double du premier, et si l’on diminuait le second de 1 et que l’on augmentait le premier de 1, les deux nombres seraient égaux.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

La lecture du texte doit faire comprendre que les nombres de billes se déterminent à partir des deux échanges proposés et que lorsqu’un des enfants donne l’une de ses billes à l’autre son sac en contiendra un de moins et le sac de l’autre en contiendra un de plus.

Les connaissances en jeu se limitent à l’addition ou la soustraction de 1 et au « double de ».

Sans connaissances algébriques, on peut éventuellement se rendre compte de l’écart de 2 entre les nombres de Léo et de Robert ou sinon procéder cas par essais, sachant qu’il faut à chaque fois choisir un des deux nombres, en déduire l’autre par une des deux relations données et procéder à la vérification de la deuxième relation. Par exemple si Robert avait 10 billes, en en donnant 1 à Léo il lui en resterait 9 et Léo en aurait le double, (selon la première relation) c’est-à-dire 18 et, sans compter celui qu’il vient de recevoir, Léo en aurait eu 17 à l’origine. La situation d’origine serait alors 10 pour Robert et 17 pour Léo. Mais cette situation ne vérifie pas la seconde relation : Robert en aurait 11 et Léo 16, les nombres ne seraient pas égaux.

- Poursuivre progressivement les essais, pour arriver à l’égalité dans le deuxième couple (5 ; 7) => (6 ; 6).

- Les essais peuvent aussi être organisés à partir du nombre de billes du sac de Leo et de la relation d’égalité après le deuxième échange, qui fait apparaître que, à l’origine, Léo a 2 billes de plus que Robert.

Dans tous les cas, la solution est que le sac de Robert contient 5 billes e celui de Léo en contient 7.

Notions mathématiques

nombre naturel, addition, soustraction, échange, égalité, double

Résultats

31.II.08

Points attribués, sur 3335 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori:

• 4 points: Réponse correcte : « Le sac de Robert contient 5 billes et celui de Léo 7 », avec description claire de la procédure et des essais effectués
• 3 points: Réponse correcte, avec description peu claire de la procédure ou sans les essais
• 2 points: Réponse correcte sans aucune description
• 1 point: Début de raisonnement correct (par exemple reconnaissance que Léo a plus de billes que Robert) mais sans arriver à conclure en raison d’erreurs de calcul ou manque de vérification
• 0 point: Incompréhension du problème.

Procédures, obstacles et erreurs relevés

L'origine de ce problème est Chocolat en scène (29.II.07). Les analyses a posteriori de ces deux problèmes devraient être conduites simultanément.