La collezione di modellini

Identificazione

Rally: 20.I.05 ; categorie: 3, 4, 5 ; ambiti: OPN, AL
Famiglie:

• MEQ - Mettere in equazione
• MEQ/EQL - Risolvere un sistema di equazioni lineari
• MUL - Moltiplicare numeri naturali ed effettuare divisioni con resto

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Sunto

Trovare un numero di oggetti e un numero di scatole in modo che ne rimangano 2 se si mettono 4 oggetti in una scatola e ne mancherebbero 3 se si volesse metterne 5 per scatola.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

Analisi a priori

- Immaginare la situazione: la prima volta Leo mette 4 modellini per scatola e ne rimangono fuori 2. Allora Leo decide di mettere 5 modellini per scatola, cioè uno in più di prima. Con i 2 avanzati completa due scatole da 5 modellini, ma gliene mancano 3 per riempire tutte le scatole, quindi 2 scatole complete e 3 scatole incomplete, in totale 5. La situazione può essere rappresentata con il disegno di scatole, che vengono progressivamente riempite con i modellini. Con tentativi e successivi aggiustamenti si può arrivare al disegno corretto delle 5 scatole e dei modellini in esse contenuti.

- Contare o calcolare quindi il numero totale dei modellini 2 x 5 + 3 x 4 = 22 e verificare eventualmente 5 x 4 + 2 = 22 e 5 x 5 – 3 = 22.

Oppure procedere per tentativi successivi con le opportune moltiplicazioni, addizioni e sottrazioni e cercare il numero di modellini nelle due situazioni, per 4 e per 5, fino ad ottenere l’uguaglianza 5 x 4 + 2 = 22 e 5 x 5 – 3 = 22.

I tentativi possono essere a caso o organizzati facendo variare il numero di scatole e osservando che la differenza fra i due numeri di modellini decresce con regolarità, per esempio:

scatole 2 3 4 5 4 per scatola 4 x 2 + 2 = 10 4 x 3 + 2 = 14 4 x 4 + 2 = 18 4 x 5 + 2 = 22 5 per scatola 5 x 2 – 3 = 7 5 x 3 - 3 = 12 5 x 4 - 3 = 17 5 x 5 - 3 = 22

- Partire da un numero di modellini che permetta di rispettare una delle condizioni della disposizione (per esempio un numero che ha per resto 2 nella divisione per 4) e verificare se rispetta la seconda condizione. Ricominciare fino a trovare un numero che convenga.

In ogni caso, dedurne che il numero di scatole preparate da Leo è 5, essendo 22 il numero di modellini.

Risultati

20.I.05

Punteggi attribuiti su 1492 classi de 20 sezione:

secondo i criteri determinati nell'analisi a priori:

• 4 punti: Risposte corrette (5 scatole e 22 modellini) con spiegazioni chiare e dettagliate o tabelle che mostrino il confronto fra prodotti
• 3 punti: Risposte corrette (5 scatole e 22 modellini) con spiegazioni poco chiare
• 2 punti: Risposte corrette (5 scatole e 22 modellini) senza spiegazioni
  oppure procedimento corretto con errore di calcolo ma con spiegazioni dettagliate (per esempio 4 scatole con 18 modellini e un errore di calcolo per il caso dei cinque modellini per scatola: 18 al posto di 17)
• 1 punto: Una delle due risposte, senza spiegazioni
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

La stragrande maggioranza degli alunni di categoria 3 e 4 non comprende il problema, che è molto difficile anche per la categoria 5. Una prima analisi degli elaborati della sezione della Svizzera romanda ha rivelato i principali ostacoli ma anche le diverse strategie che consentono di arrivare alla soluzione:

gli ostacoli sembrano essere legati alla lettura e/o all'appropriazione della situazione:

* il numero di scatole cambia da una distribuzione all'altra,

* i restanti due vanno in una scatola extra,

* confusione tra numero di scatole, motociclette, motociclette per scatola, numero rimanente o mancante

Compaiono moltissime strategie (per disegni, per elenchi di multipli - nella categoria 5 -, additive, moltiplicative, ecc.) ma sarebbero necessari più elaborati per identificarle chiaramente.

Sarebbe interessante continuare l'analisi degli elaborati e, soprattutto, riproporre il problema in un contesto più chiaro perché il compito matematico è semplice: il numero di motociclette è, da un lato, "4 per scatola" più 2 , dall’altro, "5 per scatola" meno 3, quindi la differenza di "1 per scatola" si scompone in 2 in più e 3 in meno, cioè 5.

Un gruppo di lavoro dovrebbe concentrarsi sul “significato delle operazioni aritmetiche” e approfondire i legami tra l’addizione e la moltiplicazione. Occorre ritrovare i tanti vecchi problemi su questo tema e inventarne di nuovi per poter dire di più. Confrontare con Le albicocche (cat. 6-8 ) (21.II.11)