Banca di problemi del RMT
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Banca di problemi del RMTop2-it |
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Trovare un numero di oggetti e un numero di scatole in modo che ne rimangano 2 se si mettono 4 oggetti in una scatola e ne mancherebbero 3 se si volesse metterne 5 per scatola.
Analisi a priori
- Immaginare la situazione: la prima volta Leo mette 4 modellini per scatola e ne rimangono fuori 2. Allora Leo decide di mettere 5 modellini per scatola, cioè uno in più di prima. Con i 2 avanzati completa due scatole da 5 modellini, ma gliene mancano 3 per riempire tutte le scatole, quindi 2 scatole complete e 3 scatole incomplete, in totale 5. La situazione può essere rappresentata con il disegno di scatole, che vengono progressivamente riempite con i modellini. Con tentativi e successivi aggiustamenti si può arrivare al disegno corretto delle 5 scatole e dei modellini in esse contenuti.
- Contare o calcolare quindi il numero totale dei modellini 2 x 5 + 3 x 4 = 22 e verificare eventualmente 5 x 4 + 2 = 22 e 5 x 5 – 3 = 22.
Oppure procedere per tentativi successivi con le opportune moltiplicazioni, addizioni e sottrazioni e cercare il numero di modellini nelle due situazioni, per 4 e per 5, fino ad ottenere l’uguaglianza 5 x 4 + 2 = 22 e 5 x 5 – 3 = 22.
I tentativi possono essere a caso o organizzati facendo variare il numero di scatole e osservando che la differenza fra i due numeri di modellini decresce con regolarità, per esempio:
scatole 2 3 4 5 4 per scatola 4 x 2 + 2 = 10 4 x 3 + 2 = 14 4 x 4 + 2 = 18 4 x 5 + 2 = 22 5 per scatola 5 x 2 – 3 = 7 5 x 3 - 3 = 12 5 x 4 - 3 = 17 5 x 5 - 3 = 22
- Partire da un numero di modellini che permetta di rispettare una delle condizioni della disposizione (per esempio un numero che ha per resto 2 nella divisione per 4) e verificare se rispetta la seconda condizione. Ricominciare fino a trovare un numero che convenga.
In ogni caso, dedurne che il numero di scatole preparate da Leo è 5, essendo 22 il numero di modellini.
Punteggi attribuiti su 1492 classi de 20 sezione:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 277 (71%) | 31 (8%) | 24 (6%) | 22 (6%) | 34 (9%) | 388 | 0.72 |
| Cat 4 | 333 (65%) | 36 (7%) | 51 (10%) | 30 (6%) | 65 (13%) | 515 | 0.95 |
| Cat 5 | 321 (54%) | 51 (9%) | 68 (12%) | 59 (10%) | 90 (15%) | 589 | 1.23 |
| Totale | 931 (62%) | 118 (8%) | 143 (10%) | 111 (7%) | 189 (13%) | 1492 | 1 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
La stragrande maggioranza degli alunni di categoria 3 e 4 non comprende il problema, che è molto difficile anche per la categoria 5. Una prima analisi degli elaborati della sezione della Svizzera romanda ha rivelato i principali ostacoli ma anche le diverse strategie che consentono di arrivare alla soluzione:
gli ostacoli sembrano essere legati alla lettura e/o all'appropriazione della situazione:
* il numero di scatole cambia da una distribuzione all'altra,
* i restanti due vanno in una scatola extra,
* confusione tra numero di scatole, motociclette, motociclette per scatola, numero rimanente o mancante
Compaiono moltissime strategie (per disegni, per elenchi di multipli - nella categoria 5 -, additive, moltiplicative, ecc.) ma sarebbero necessari più elaborati per identificarle chiaramente.
Sarebbe interessante continuare l'analisi degli elaborati e, soprattutto, riproporre il problema in un contesto più chiaro perché il compito matematico è semplice: il numero di motociclette è, da un lato, "4 per scatola" più 2 , dall’altro, "5 per scatola" meno 3, quindi la differenza di "1 per scatola" si scompone in 2 in più e 3 in meno, cioè 5.
Un gruppo di lavoro dovrebbe concentrarsi sul “significato delle operazioni aritmetiche” e approfondire i legami tra l’addizione e la moltiplicazione. Occorre ritrovare i tanti vecchi problemi su questo tema e inventarne di nuovi per poter dire di più. Confrontare con Le albicocche (cat. 6-8 ) (21.II.11)
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