Les 9 cases

Identification

Rallye: 31.II.09 ; catégories: 5, 6, 7 ; domaine: OPN
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• DCP - Décomposer un nombre naturel
• DIV - Rechercher des multipes et/ou des diviseurs

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Résumé

Placer dans une grille de 3 × 3 les nombres de 1 à 9 dont on connaît les six produits des trois nombres alignés horizontalement et verticalement.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Les connaissances nécessaires sont la multiplication de nombres naturels et la décomposition en facteurs premiers et/ou les critères de divisibilité.

- Une procédure « élémentaire » est celle des essais successifs, jusqu’à ce que les produits des trois lignes et trois colonnes correspondant au placement des nombres de 1 à 9.

- Une procédure plus élaborée fait appel aux critères de divisibilité ou à la décomposition des nombres de 1 à 9 et des 6 produits donnés et s’appuie sur un raisonnement logico-déductif et sur l’associativité de la multiplication, par exemple :

- le 5 ne peut être que dans la troisième colonne et la troisième ligne dont les produits, 70 et 135 sont des multiples de 5,

- le 7 ne peut être que dans la deuxième colonne et la troisième ligne dont les produits, 70 et 42 sont des multiples de 7, :

- le premier nombre de la troisième ligne est 2 car 2 x 7 x 5 = 70,

- les trois produits des deux premiers nombres de chaque colonne sont ainsi déterminés: 32, 6 et 27, les deux premières lignes sont interchangeables et conduisent aux deux solutions :

Notions mathématiques

divisibilité, diviseur, multiple, associativité, commutativité

Résultats

31.II.09

Points attribués, sur 3338 classes de 20 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (les 2 grilles possibles)
• 3 points: Une grille correcte et l’autre incomplète ou avec erreurs
• 2 points: Une grille correcte seulement (la deuxième possibilité n’a pas été trouvée)
• 1 point: Début de remplissage de la grille qui correspond à quelques produits
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les résultats montrent quil y a des obstacles, pour de nombreux groupes, à la découverte de diviseurs qui semblaient a priori faciles à découvrir. Les analyses a posteriori devraient permettre de découvrir les raisons de ces difficultés. Sont-elles dues au "deux solutions" qui ne sont pas vraiment différentes puisqu'il ne s'agit que d'échanger les deux première lignes. Ou sont-elles dues au fait qu'il s'agit de produits de trois nombres et de la difficulté à mettre en oeuvre l'associativité de la multiplication ?

Exploitations didactiques

Il s'agit ici d'une recherche de diviseurs ou d'application de la décomposition d'un nombre en plus de deux facteurs.

Ce type d'activité est "classique". Voir Produits en ligne (10.F.10), Produits en triangles (I)20.F.12),Produits en triangles (II)20.F.18)

Cette activité a de nombreuses variantes que les élèves peuvent construire eux-mêmes : il suffit de répartir les neuf nombres, dans les cases, de calculer les produits de chaque alignement et de les noter, puis d’effacer les neuf nombres de départ.

Bibliographie

Jaquet.F. Ateliers de résolution de problèmes / Laboratori di risoluzione di problemi. 2007 Publication ARMT (Produits en ligne pp. 64-67)