Chats en files

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Rallye: 31.II.11 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaine: OPN
Famille:

• MUL - Multiplier des nombres naturels et diviser, avec reste

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Résumé

Trouver les nombres inférieurs à 400 qui valent 1 de plus qu’un multiple de 6, qu’un multiple de 7 et qu’un multiple de 8

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Les savoirs mobilisés sont ceux de multiples, multiples communs, diviseurs, division euclidienne (ou avec reste)

S’approprier la situation et comprendre que le nombre cherché vaut un de plus qu’un multiple de 6, qu’un multiple de 7 et qu’un multiple de 8.

- En déduire qu’il faut chercher le plus petit multiple commun de 6, 7 et 8, 168, et y ajouter 1 pour obtenir la première solution, 169 et que 337 (= 2 ×168 +1) est aussi une solution alors que les autres dépasseront 400 et ne peuvent pas être prises en compte.

- Une autre procédure consiste à décomposer les trois nombres en facteurs premiers (6 = 2 × 3 ; 7 = 7 × 1 ; 8 = 2$^3$) et calculer le produit des facteurs qui figurent dans chacun des trois nombres 2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 168, puis y ajouter 1 pour arriver au nombre de chats, Félix y compris.

- D’autres procédures, par essais, permettent aussi d’arriver à 169 et 337.

Notions mathématiques

nombre naturel, division euclidienne, reste, multiplication,

Résultats

Sur 3439 classes de 20 sections

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses correctes « 169 et 337 » avec explications claires et complètes (calculs, décomposition des trois nombres ou et/ou recherche de multiples communs, ou inventaire des essais)
• 3 points: Réponses correctes avec explications peu claires ou incomplètes
• 2 points: Réponses correctes sans explications
  ou une seule réponse correcte (169 ou 337) avec explications
  ou réponses 168 et 336 sans ajouter 1 au plus petit multiple commun
  ou réponses 169 et 338 obtenues par 2 × 169 plutôt que 2 × 168 +1
• 1 point: Début de recherche (par exemple quelques essais qui témoignent d’une recherche de produits des nombres donnés)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les analyses a posteriori devraient relever les différents types de réponses erronées et les insuffisances notoires dans la construction du concept de division euclidienne (avec reste) et du concept de multiple commun.

A conduire en relation avec les analyses des problèmes Arc-en-ciel(31.II.10), [[,Les vignettes d'Albert (31.I.09), Sac de haricots (25.II.15), La boîte de vignettes (19.I.13), ... et autres problèmes de la famille MUL du domaine OPN