Banque de problèmes du RMT
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Dresser l’inventaire des décompositions de 20 en trois multiples, de 2, de3 et de 4, dans un contexte de chandeliers et bougies.
- Comprendre que les conditions du contexte correspondent, dans le cadre numérique, à la recherche des décompositions de 20 en une somme de termes 2, 3 et 4 (20 = 2 + 2 + … + 3 + 3 + … + 4 + 4 …) ou en somme de multiples de 2, de 3 ou de 4 avec au moins un terme de chaque sorte.
- La recherche des solutions peut se faire par essais successifs au hasard, mais cette procédure ne permet pas de garantir l’exhaustivité.
- Une recherche plus systématique peut s’organiser par types de chandeliers en imposant par exemple le nombre de chandeliers à 4 bougies (ou les multiples de 4) : il y a au maximum 3 chandeliers à quatre bougies (5 et 4 ne permettraient pas d’avoir deux autres chandeliers de 2 et 3 branches)
20 = 3 × 4 + 8 =
3 × 4 + 2 × 3 + 1 × 2 : 6 chandeliers, 3 de quatre branches, 2 de trois et 1 de deux
20 = 2 × 4 + 12 =
2 × 4 + 2 × 3 + 3 × 2 : 7 chandeliers, 2 de quatre branches, 2 de trois et 3 de deux
20 = 1 × 4 + 16 =
1 × 4 + 4 × 3 + 2 × 2 : 7 chandeliers, 1 de quatre branches, 4 de trois et 2 de deux
1 × 4 + 2 × 3 + 5 × 2 : 8 chandeliers, 1 de quatre branches, 2 de trois et 5 de deux
Ou : remarquer que, pour utiliser un chandelier de chaque sorte, Laura a déjà besoin de 9 (2 + 3 + 4) bougies; qu’il en reste 11 à répartir; puis qu’il faudra utiliser au moins un autre chandelier à 3 branches pour obtenir un nombre pair. Il y a ainsi déjà 12 (2 + 3 + 3 + 4) bougies attribuées et il n’en reste plus que 8 à disposer, selon l’une des quatre répartitions: 3 + 3 + 2 = 4 + 4 = 4 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2.
arithmétique, addition, multiples, combinatoire
Points attribués sur 1851 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 4 | 85 (19%) | 96 (22%) | 80 (18%) | 112 (25%) | 70 (16%) | 443 | 1.97 |
| Cat 5 | 74 (15%) | 74 (15%) | 86 (17%) | 151 (30%) | 124 (24%) | 509 | 2.35 |
| Cat 6 | 124 (14%) | 137 (15%) | 145 (16%) | 331 (37%) | 162 (18%) | 899 | 2.3 |
| Total | 283 (15%) | 307 (17%) | 311 (17%) | 594 (32%) | 356 (19%) | 1851 | 2.23 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Réussite moyenne à bonne
On pourrait observer les fréquences d’écritures purement additives avec les termes 4 et 5 et de celles où interviennent des multiplications pour réduire la longueur des écritures.
On pourrait aussi s’intéresser aux manières de montrer que toutes les solutions ont été trouvées
Il faudra aussi comparer les procédures avec celles de la deuxième version 16 Dîner aux chandelles II
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