Des bonbonnières aux invités

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Rallye: 21.II.15 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaine: OPN
Famille:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels

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Résumé

Trouver un nombre dont on déduit par le contexte qu'il est compris entre 100 et 200 et divisible par trois. On peut déduire également que la division entière d'un multiple de 10 par 7 donne ce nombre avec un reste 2.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

• Comprendre que l’énoncé pose les conditions suivantes :
• le nombre total de dragées est un multiple de 10, qui, diminué de 2 (dragées pour les mariés), devient un nombre qui est aussi multiple de 7 ;
• le nombre des invités de Luc est exactement la moitié de ceux de Charlotte, donc le nombre de ceux de Charlotte doit être un nombre pair supérieur à 100.
• Déduire des informations précédentes que :
• les invités de Luc sont 1/3 du total et ceux de Charlotte les 2/3, le nombre des invités est donc un multiple de 3 ;
• le nombre total des invités est supérieur à 150 et inférieur à 200, et en particulier, celui des invités de Luc est supérieur à 50 et inférieur à 66 ;
• le nombre de dragées a 8 pour chiffre des unités ;
le nombre d'invités multiplié par 7 plus 2 correspond au nombre total de dragées.
• Faire une liste des nombres d'invités possibles, en partant de 153 jusqu'à 198 (153, 156, 159, 162, 165, 168, 171, 174, 177, 180, 183, 186, 189, 192, 195, 198), puis chercher parmi ces nombres ceux qui multipliés par 7 donnent un nombre qui a 8 pour chiffre des unités et se rendre compte que le seul qui répond à cette exigence est 174.
• Diviser 174 par 3 pour obtenir le nombre des invités de Luc (58) et multiplier le nombre des invités de Luc par 2 pour obtenir celui des invités de Charlotte (116).

Ou bien, sur la base des déductions précédentes, considérer que le nombre des bonbonnières est le triple de celui des invités de Luc, que le nombre total des dragées est le triple de ce que les invités de Luc recevront et par conséquent que ce nombre est multiple de 3 et de 7 (nombre de dragées par bonbonnière), c'est-à-dire de 21. Chercher parmi les nombres entiers compris entre 50 et 66 un nombre qui, multiplié par 21, donne un résultat qui ait 8 comme chiffre des unités. Constater que l’unique possibilité est 58. Conclure que les invités de Luc sont 58, ceux de Charlotte sont 116, pour un total de 174.

Ou bien, organiser la recherche, en prenant en compte les nombres pairs supérieurs à 100 selon le tableau suivant :

• En complétant la recherche pour vérifier l'unicité de la solution, on constate que le dernier nombre acceptable est 132, en effet : 132 + 66 = 198 ; avec le nombre successif on obtient 134 + 67 = 201 ;
• En multipliant le nombre total des invitées par 7 et en ajoutant 2, on vérifie l’existence d’une seule solution possible:
116 + (116: 2) = 174; 174 x 7 + 2 = 1220, ce qui est un multiple de 10.
• Formuler la réponse correcte: « il y a 174 invités au total, Charlotte en a 116 et Luc 58 ».

Ou bien, procéder par tâtonnements plus ou moins organisés. Dans ce cas, il est possible d'arriver à la solution, sans être en mesure d’en vérifier l'unicité.

Notions mathématiques

arithmétique, opérations, multiples, critères de divisibilité

Résultats

21.II.15

Points attribués sur 719 classes de 15 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponses correctes (174 invités, 116 pour Charlotte, 58 pour Luc) avec explication complète et les détails des calculs, soulignant l'unicité de la solution
• 3 points: Réponses correctes avec explication incomplète
  ou bien deux réponses justes sur les trois, avec une explication qui montre l’unicité de la solution
• 2 points: Réponses correctes, sans aucune explication
  ou, démarche correcte, mais réponse incorrecte seulement en raison d'une erreur de calcul
• 1 point: Tentatives qui montrent une compréhension initiale du problème
  ou une seule des 3 réponses
• 0 point: Incompréhension du problème