Objectif 2013

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Rallye: 21.F.15 ; catégories: 8, 9, 10 ; domaines: OPN, NU
Famille:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres

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Résumé

Chercher à atteindre 2013 ou le nombre le plus proche de 2013, comme somme de nombres où figure une fois et une seule chaque chiffre de 0 à 9.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Première analyse de la tâche:

- Commencer par s'approprier le problème en se rendant compte que certains chiffres devront être associés pour former des nombres de plusieurs chiffres (car 0 + 1 + 2 + … + 9 = 45, est très éloigné de 2013 !)

- Découvrir alors quelques contraintes sur les nombres à choisir. Par exemple, si on décide de prendre un nombre de quatre chiffres, il devra être inférieur à 2000.

- On peut alors choisir une addition utilisant tous les chiffres, puis procéder à des permutations et des regroupements de chiffres dans quelques termes pour s'approcher de 2013.

Par exemple dans 1234 + 680 + 75 + 9 = 1998 si on échange le 9 et le 7 de 75 + 9, la somme augmente de 18 et l’on arrive à 2016,…

- La propriété - clé à découvrir par de multiples essais est que, lorsqu’on échange deux chiffres d'un terme ou de deux termes différents, on modifie la somme d’un multiple de 9 et, partant de la somme 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 (multiple de 9), comprendre que toutes les sommes que l’on peut ainsi former sont elles-mêmes des multiples de 9.

- Puisque 2013 n'est pas un multiple de 9, on ne peut pas l'obtenir, mais on peut espérer atteindre les multiples de 9 qui « encadrent » 2013, c'est-à-dire 2007 et 2016. Ce dernier est le plus près et devient donc l'objectif privilégié.

- En regroupant deux chiffres pour former une somme de 9 termes, on peut obtenir tous les multiples de 9, de 54 (10 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) à 126 (98 + 0 + 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7).

- En regroupant trois chiffres pour former une somme de 8 termes, on obtient des multiples de 9 de 144 (102 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +8 + 9) à 1008 (987 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6), insuffisants.

- Il faudra donc au moins deux regroupements de trois chiffres pour obtenir 2016, comme dans l’exemple suivant : 986 + 704 + 325 + 1 = 2016.

- Avec un seul regroupement de quatre chiffres, on obtient au mieux 1980 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 2007.

- Mais avec un regroupement de 4 chiffres et un de deux chiffres, on obtient de nombreuses solutions, par exemple : 2016 = 1970 + 23 + 4 + 5+ 6 + 8 = 1960 + 32 + 4 + 5 + 7 + 8 = 1950 + 42 + 3 + 6 + 7 + 8…

Notions mathématiques

addition, nombres naturels, numération, somme, chiffre, permutation, décomposition

Résultats

21.F.15

Points attribués sur 99 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Somme 2016 avec un exemple, respectant les conditions, avec l’explication du fait que 2013 n’étant pas un multiple de 9 ne peut pas être atteint
• 3 points: Somme 2016 respectant les conditions, avec des explications qui ne précisent pas l'impossibilité d'obtenir 2013,
  ou la somme 2007 respectant les conditions avec des explications complètes qui précisent l’impossibilité d’obtenir 2013
• 2 points: Somme correcte 2016 sans explications.
  ou la somme 2007 avec des explications qui ne précisent pas l'impossibilité d'obtenir 2013.
• 1 point: Début de recherche cohérente avec un exemple de somme comprise entre 1991 et 2034
• 0 point: Incompréhension du problème