Le restaurant

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Rallye: 21.F.12 ; catégories: 6, 7, 8, 9, 10 ; domaines: OPN, AL
Famille:

• ADD - Rechercher une somme ou une différence de nombres

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Résumé

Décomposer 67 en une somme de termes « 3 », « 4 » et « 5 » sachant qu’il y a plus de termes « 3 » que de termes « 4 », plus de termes « 4 » que de termes « 5 » et que ces derniers sont au maximum 2.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori:

- Traduire les données par la décomposition de 67 en une somme de trois nombres respectivement multiples, de 3, de 4 et de 5 (en langage algébrique, une équation à trois inconnues : 3a + 4b + 5c = 67 où les nombres de tables a, b, c sont des nombres naturels tels que a > b > c).

- Comprendre qu’il doit y avoir plusieurs décompositions possibles respectant les contraintes sur les nombres de tables et organiser la recherche d’une manière systématique.

Par exemple en organisant les essais dans l’ordre croissant des tables de cinq. puis de quatre et de trois :

• le premier essai avec 1 table de cinq et 2 tables de quatre aboutit à 5 + 8 + 54 = 67 et à 18 tables de trois (1 ; 2 ; 18),
• les autres essais avec 1 table de cinq aboutissent à deux autres solutions (1 ; 5 ; 14), et (1 ; 8 ; 10),
• on trouve ensuite deux solutions avec 2 tables de cinq : (2 ; 3 ; 15) et (2 ; 6 ; 11)

- Il y a de nombreuses autres manières d’organiser les essais, qui toutes font appel à des considérations sur les multiples de 3, 4 et 5, sur les nombres pairs et impairs, qui permettent d’éviter de longs inventaires. On peut aussi limiter la recherche en attribuant au départ 1 table de cinq, 2 de quatre et 3 de trois pour 22 (5 + 8 + 9) personnes et en recherchant les solutions pour les 45 (67 – 22) personnes non encore placées.

Notions mathématiques

décomposition d'un nombre, multiple

Résultats

21.F.12

Points attribués sur 238 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les cinq solutions (18 ;2 ;1) , (14 ; 5 ; 1) , (10 ; 8 ; 1) , (15 ; 3 ; 2) , (11 ; 6 ; 2) avec explications claires
• 3 points: Les cinq solutions sans explications
  ou quatre ou trois solutions avec explications
• 2 points: Deux solutions avec explications
  ou quatre ou trois solutions avec explications
  ou au moins trois solutions correctes et au maximum deux erronées
• 1 point: Début de recherche cohérente, ou une seule solution
• 0 point: Incompréhension du problème