Sommes et produits

Identification

Rallye: 16.I.08 ; catégories: 5, 6 ; domaine: OPN
Famille:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels

Remarque et suggestion

Résumé

Parmi les décompositions de 25 en somme de plusieurs termes, trouver celle dont le produit des termes est le plus grand, (avec quelques exemples de décomposition additive de 25 et de calcul du produit des termes).

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Lire les exemples et faire d’autres essais pour comprendre que le produit varie même si la somme des nombres choisis est toujours 25.

- Découvrir, après de nombreux essais plus ou moins organisés quelques propriétés dont, en particulier :

• on ne peut choisir que 25 « 1 » au maximum pour les sommes, mais ces facteurs « 1 » ne modifient pas les produits (élément neutre de la multiplication) ; par conséquent, en choisissant exclusivement les « 1 », on obtiendra le plus petit produit possible : 1x1x1x.... = 125 = 1 , mais il faudra éviter au maximum ces « 1 » dans la recherche du plus grand produit ;
• on ne peut choisir qu’un seul « 20 » ou deux « 10 » au maximum, ce qui limite sensiblement le nombre de facteurs et la grandeur des produits obtenus ;
• ce sont les nombres « 2 » et « 5 » qui semblent les plus « intéressants » pour la recherche du plus grand produit.

- Rechercher la répartition optimale des facteurs « 2 » et « 5 » entre les sommes et les produits par des observations du genre :

• les termes 5=2+2+1 d’une somme deviennent, dans les produits correspondants: 5>2x2x1=4 et il est alors préférable de choisir 5 ;
• mais les termes 5+5=2+2+2+2+2 d’une somme de 10 deviennent 5x5=25<2x2x2x2x2=32 et il est alors préférable de choisir les nombres « 2 » ;
• ce genre d’observation peut aboutir au choix de dix « 2 » et de un « 5 » conduisant à 2¹⁰ x 5 = 5120 (solution optimale) alors que le choix de douze « 2 » et un « 1 » conduit à 2¹² x 1= 4096 (solution non optimale).

Notions mathématiques

addition, multiplication, associativité, élément neutre, conjecture, déduction

Résultats

16.I.08

Points attribués sur 142 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les deux réponses exactes (5120 et 1) avec explications
• 3 points: Les deux réponses exactes sans explications
  ou une réponse exacte et l’autre erronée (par exemple 4096 et 1) avec explications
• 2 points: Une réponse exacte et l’autre erronée (avec une erreur due à un choix non optimal) sans explications,
• 1 point: Aucune réponse exacte mais éléments de recherche corrects
• 0 point: Incompréhension du problème

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