Jeu des multiples et diviseurs

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Rallye: 16.I.11 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaine: OPN
Famille:

• DIV - Rechercher des multipes et/ou des diviseurs

Remarque et suggestion

Résumé

Jeu de « Nim » sur une grille des nombres de 1 à 40 consistant à barrer un multiple ou un diviseur du nombre barré par l’adversaire au coup précédent, le perdant étant celui qui ne peut plus jouer.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse a priori de la tâche:

- Jouer quelques parties pour repérer les contraintes du jeu. Savoir ce qu’est un diviseur et un multiple, comprendre qu’on n’est pas obligé d’alterner multiples et diviseurs mais qu’on peut passer par plusieurs multiples ou diviseurs successifs, repérer les nombres qui ont beaucoup de diviseurs et de multiples et ceux qui en ont peu.

- Comprendre que dès qu’on a pu choisir un nombre n’ayant plus de diviseurs ou de multiples libres, on gagne immédiatement.

- Par conséquent il faut éviter de laisser à l’adversaire la possibilité de choisir un nombre dont tous les multiples et diviseurs ont déjà été barrés. Dans l’exemple donné le joueur A a mal joué l’avant-dernier coup en choisissant « 1 » car depuis là, le joueur B pouvait prendre le « 37 » qui termine le parcours.

- Lorsqu’on a compris que le « 1 » est à éviter pour soi, car il conduit à une impasse comme le « 37 », il faut tenter de forcer son adversaire à biffer ce « 1 ». Il faut alors remarquer que le joueur qui commence par l’un des quatre nombres 23, 29, 31 ou 37 qui n’ont pas de multiples dans la table de 1 à 40 et qui n’ont que 1 comme diviseur) contraint son adversaire à biffer «1 » à son premier coup et permet au premier joueur de revenir sur l’un des trois autres nombres, qui n’aura plus alors ni multiple ni diviseur libre.

Remarque : les quatre nombres : 23 ; 29 ; 31 ; 37 sont premiers et supérieurs à 20. En choisissant un nombre premier inférieur à 20, on laisse la possibilité à l’adversaire de biffer un de ses multiples et de gagner par une succession de coups obligés.

Par exemple :

  Premier joueur:    19     2    13     3    11    1 
  Deuxième joueur:      38    26    39    33    22

Notions mathématiques

multiple, diviseur, nombre premier, conjecture, déduction

Résultats

16.I.11

Points attribués sur 143 classes de Suisse romande:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Les quatre nombres (23, 29, 31, 37), avec explications
• 3 points: Les quatre nombres (23, 29, 31, 37), sans explications
  ou trois de ces nombres avec explications
  ou les quatre nombres (23, 29, 31, 37), accompagnés d’un ou deux autres nombres
• 2 points: Deux des nombres corrects seulement, avec explications
  ou trois nombres, mais soit sans justification, soit accompagnés d’autres nombres premiers inférieurs à 20
• 1 point: Un nombre correct avec explications
  ou deux nombres, soit sans explication, soit accompagnés d’autres nombres premiers inférieurs à 20
  ou trois ou quatre nombres corrects, mais accompagnés d’autres nombres parmi lesquels des nombres non premiers
• 0 point: Incompréhension du problème

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