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Boules et tiges

Identification

Rallye: 22.I.11 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaine: OPN
Famille:

AM - Additionner et multiplier des nombres naturels

Résumé

Trouver, dans la liste ordonnée des puissances de 2, celles qui encadrent 100 (64 et 128) ; calculer la différence entre 100 et la plus grande, dans un contexte de construction d’arbre binaire.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Analyse de la tâche a priori:

- Comprendre la règle de construction de l'arbre et ajouter quelques branches pour mieux voir comment il se développe, comprendre que la construction de l’arbre se déroule niveau par niveau et qu’elle s’arrête dès qu’on a épuisé toutes les boules.

- Additionner le nombre de boules utilisées niveau par niveau jusqu’à 63 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32, (parce que, au-delà, on dépasse 100). Le nombre de tiges utilisées suit la même règle : aux 63 boules précédentes correspondent 127 tiges : 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64.

Sur les 64 tiges du dernier niveau, on ne pourra placer que les 37 (100 – 63) boules restantes. Il restera 64 – 37 = 27 tiges sans boule.

Ou : faire un dessin de tous les niveaux sur lesquels on peut compter les 100 boules et les 127 tiges, dont les 27 dernières sans boules, tâche qui exige une très grande précision.

Notions mathématiques

arbre, binaire, branche, embranchement, puissances de 2, différence, somme

Résultats

22.I.11

Points attribués sur 2547 copies de 22 sections

Catégorie	0	1	2	3	4	Nb. de classes	Moyenne
Cat 6	777 (71%)	174 (16%)	45 (4%)	36 (3%)	55 (5%)	1087	0.54
Cat 7	506 (61%)	151 (18%)	54 (7%)	35 (4%)	80 (10%)	826	0.83
Cat 8	299 (47%)	138 (22%)	54 (9%)	45 (7%)	98 (15%)	634	1.22
Total	1582 (62%)	463 (18%)	153 (6%)	116 (5%)	233 (9%)	2547	0.8
Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème.

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

4 points: Réponses correctes (127 tiges et 27 tiges sans boule) avec explications claires et correctes
3 points: Réponses correctes avec explications incomplètes (dessin imprécis, seulement les nombres d’objets par niveau …)
ou réponse 126 (oubli du tronc) et 27 tiges sans boule avec explications claires et correctes
2 points: Réponses correctes sans explication
ou une seule erreur dans les calculs ou le dessin ou le comptage
ou une seule réponse correcte (127 tiges mais le nombre de tiges sans boules incorrect ou non trouvé)
1 point: Début d’un raisonnement correct
ou réponse erronée « 128 tiges et 28 tiges sans boules » en calculant simplement les puissances de 2 sans faire la somme des différentes étapes
0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

L’échec est total, avec plus de 60 % de copies jugées comme « Incompréhension du problème ».

A première vue, les élèves n’ont pas du tout saisi les règles de construction de l’arbre et sont passés à côté des savoirs mathématiques qu’ils auraient dû mobiliser : le puissances de 2.

Banque de problèmes du RMT