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Palline e bastoncini

Identificazione

Rally: 22.I.11 ; categorie: 6, 7, 8 ; ambito: OPN
Famiglia:

AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali

Sunto

Trovare, nell'elenco ordinato delle potenze di 2, quelle che stanno prima e dopo il 100 (64 e 128); calcolare la differenza tra 100 e il più grande.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

(Analisi del compito a priori)

- Comprendere le regole con cui viene costruito l’albero e aggiungere qualche ramo per vedere meglio come si sviluppa; capire che la costruzione dell’albero si sviluppa livello per livello e che si ferma quando sono finite le palline.

- Addizionare il numero delle palline utilizzate livello per livello fino a 63 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 (poiché se si aggiunge la potenza successiva che è 64, si va oltre 100). Il numero dei bastoncini utilizzati segue la stessa regola: alle 63 palline precedenti corrispondono 127 bastoncini: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64.

- Sui 64 bastoncini dell’ultimo livello, si potranno sistemare solo le 37 (100 – 63) palline rimanenti. Resteranno 64 –37 = 27 bastoncini senza pallina.

Oppure: fare un disegno di tutti i livelli sui quali si possano contare 100 palline e 127 bastoncini, di cui gli ultimi 27 senza pallina (disegno che peraltro richiede una grande precisione).

Nozioni matematiche

albero, binario, ramo, nodo, potenze di 2

Risultati

22.I.11

Punteggi attribuiti su 2547 elaborati di 21 sezioni

Categoria	0	1	2	3	4	Nb.classi	Media
Cat 6	777 (71%)	174 (16%)	45 (4%)	36 (3%)	55 (5%)	1087	0.54
Cat 7	506 (61%)	151 (18%)	54 (7%)	35 (4%)	80 (10%)	826	0.83
Cat 8	299 (47%)	138 (22%)	54 (9%)	45 (7%)	98 (15%)	634	1.22
Totale	1582 (62%)	463 (18%)	153 (6%)	116 (5%)	233 (9%)	2547	0.8
Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema.

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

4 punti: Risposte corrette (127 bastoncini; 27 bastoncini senza pallina) con spiegazioni chiare e corrette
3 punti: Risposte corrette con spiegazione incompleta (disegno impreciso, solamente il numero di oggetti per livello, …)
oppure risposta 126 (dimenticanza del tronco) e 27 bastoncini senza pallina con spiegazioni chiare e corrette
2 punti: Risposte corrette senza spiegazione
oppure un solo errore nei calcoli, nel disegno o nel conteggio
oppure una sola risposta corretta (127 bastoncini, ma il numero dei bastoncini senza pallina è scorretto o non è stato trovato)
1 punto: Inizio di un ragionamento corretto
oppure risposta errata “128 bastoncini e 28 bastoncini senza pallina” calcolando semplicemente le potenze di 2 senza fare la somma delle diverse tappe
0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Il fallimento è totale, con più del 60% di elaborati giudicati come “Incomprensione del problema”.

A prima vista, gli allievi non hanno per nulla colto le regole di costruzione dell’albero e non hanno messo in gioco i saperi matematici che avrebbero dovuto mobilizzare: la potenza di 2.

Indicazioni didattiche

Il problema non è utilizzabile come attività autonoma.

Banca di problemi del RMT