Banque de problèmes du RMT
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Banque de problèmes du RMTop47-fr |
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Décomposer 81 en une somme de quatre nombres proportionnellement à 1, 2, 4 et 2, dans un contexte de récolte de châtaignes.
- De la lecture de l’énoncé, comprendre qu’il y a quatre poids de châtaignes à déterminer, celles contenues dans les trois paniers et celles qui restent, qui donneront 81 kg en tout ; qu’aucun des poids n’est connu et qu’il faudra recourir aux relations « double » et « moitié ».
- Remarquer que ces relations réciproques et que « le poids du contenu du grand panier est le double de celui du panier moyen » signifient aussi que « le poids du contenu du panier moyen est la moitié de celui du grand » et que par conséquent, le poids du reste est le même que le poids du contenu du panier moyen. Traduire ces considérations en recherche de quatre nombres : un « petit », deux « moyens » qui sont le double du « petit » et un « grand » qui est le double de chacun des « moyens » (ou leur somme) dont la somme est 81.
- En procédant par essais et ajustements on peut partir du petit panier, écrire les quadruplets possibles : 1, 2, 4, 2 (total 9), puis 2, 4, 8, 4 (total 18), puis 3, 6, 12, 6 (total 27) … et se rendre compte qu’il faut aller jusqu’à 9, 18, 36, 18 pour satisfaire la condition que le total est 81 (en kg).
- En procédant de manière plus synthétique (ou pré-algbrique) on peut laisser un des nombres indéterminé provisoirement (le petit par exemple) et calculer que la somme de 1 « petit », 2 « petits », 2 « petits », 4 « petits » représente 9 « petits » correspondant à 81 (en kg). Il ne reste alors plus qu’à diviser 81 par 9 pour déterminer le poids des châtaignes d’un petit panier : 9 kg , puis de déterminer les poids des châtaignes des autres paniers et du reste.
Savoirs mobilisés : addition de nombres naturels inférieurs à 100, calcul de la moitié et du double, éventuellement division (de 81 par 9) avec des nombres indéterminés provisoirement.
nombre naturel, moitié, double, somme, addition, proportionnalité
Points attribués sur 2379 copies de 21 sections
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 157 (28%) | 95 (17%) | 48 (9%) | 125 (22%) | 134 (24%) | 559 | 1.97 |
| Cat 6 | 301 (29%) | 158 (15%) | 109 (11%) | 204 (20%) | 262 (25%) | 1034 | 1.97 |
| Cat 7 | 162 (21%) | 59 (8%) | 82 (10%) | 189 (24%) | 294 (37%) | 786 | 2.5 |
| Total | 620 (26%) | 312 (13%) | 239 (10%) | 518 (22%) | 690 (29%) | 2379 | 2.15 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Selon le tableau précédent, environ 60% des groupes ont pu maîtriser cette répartition de 81 proportionnellement à 1, 2, 2, et 4.
Sur une première centaine de copies examinées on observe une très riche variété de procédures. On retrouve celles qui sont décrites dans l’analyse de la tâche mais on ne peut pas toujours déterminer si les essais et ajustements ont été conduits de façon organisée, ni si la division par 9 est issue d’une « équation » traduisant la somme des quatre termes. Cette dernière procédure apparaît dès la catégorie 6, mais surtout en catégorie 7.
Parmi les copies qui partent de « 9 » on relève plusieurs fois des arguments du genre : 81 est un multiple de 9 ou 81 est le carré de 9.
On relève aussi de très nombreux dessins de paniers ou représentations de quantités, dans des rapports 1, 2 et 4.
Parmi les erreurs, on relève la division par 3 qui conduit souvent à la réponse 13,5 ; 27 et 54 pour les trois paniers. La division par 2 conduit à la réponse 40,5 ; 20,25 et 10,125 avec un reste de 10,125.
Il y a aussi des réponses qui ne respectent pas toutes les contraintes comme 10, 20, 40 et un reste de 11.
Les pages blanches sont rares, ce qui atteste d’une appropriation de la situation. Même sur les copies correspondant à « l’incompréhension du problème », il y a des paniers dessinés, des tentatives d’addition, des répartitions.
On peut aisément imaginer que, si le problème est proposé aux élèves d’une même classe, par groupes ou individuellement mais en autonomie et sans aide de l’enseignant, des procédures très variées vont apparaître qui permettront des mises en commun ou des débats très profitables à propos de :
- la combinaison des relations « double » ou « moitié » permettant une comparaison entre chacun des quatre poids dans les rapports 1, 2, 2, 4,
- la distributivité (ou mise en évidence) permettant de passer de 1 + 2 + 2 + 4 à 9 (en « petits paniers »,
- les liens avec la proportionnalité
- le changement de la valeur de la variable poids total (81 en 144 par exemple, ou 94,5) pour vérifier la permanence du 9 dans la répartition alors que le poids du petit panier n’est pas toujours 9 (en kg).
…
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