Le castagne di Carlo (II)

Identificazione

Rally: 22.II.09 ; categorie: 5, 6, 7 ; ambiti: OPN, PR
Famiglie:

• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• SP - Gestire successioni proporzionali
• SP/RIP - Effettuare ripartizioni proporzionali

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Sunto

Scomporre 81 in una somma di quattre termini proporzionali a 1, 2, 4 e 5, in un contesto di una raccolta i castagne.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Capire che ci sono quattro pesi di castagne da determinare, di quelle contenute nei tre cesti e di quelle che rimangono, cosa che porta a 81 kg in tutto; rendersi anche conto che nessuno dei pesi è noto e che bisognerà ricorrere alle relazioni “doppio” e “metà”.

- Osservare che le relazioni “doppio” e “ metà” sono inverse e che “il peso del contenuto del cesto grande è il doppio di quello del cesto medio” significa anche che “il peso del contenuto del cesto medio è la metà di quello del grande” e che, di conseguenza, il peso del resto è lo stesso di quello del contenuto del cesto medio. Tradurre queste considerazioni nella ricerca di quattro numeri: uno “piccolo”, due “medi”, che sono il doppio del “piccolo”, e uno “grande” che è il doppio di ciascuno dei “medi” (o la loro somma) la cui somma è 81.

- Nel procedere per tentativi e aggiustamenti si può partire dal cesto piccolo, scrivere le quaterne possibili: 1, 2, 4, 2 (totale 9), poi 2, 4, 8, 4 (totale 18), poi 3, 6, 12, 6 (totale 27)… e rendersi conto che bisogna procedere fino a 9, 18, 36, 18 per soddisfare la condizione relativa al totale 81 (in kg).

- Procedendo in maniera più sintetica (o pre-algebrica) si può lasciare provvisoriamente uno dei numeri come indeterminato (il minore per esempio) e calcolare la somma di 1 “piccolo”, 2 “piccoli”, 2 “piccoli” 4 “piccoli”, che rappresenta 9 “piccoli”, corrispondenti a 81 (in kg). Rimane poi solo da dividere 81 per 9 per determinare i pesi delle castagne di un cesto piccolo: 9 kg, poi si determinano i pesi delle castagne degli altri cesti e del resto.

Saperi mobilizzati: addizione di numeri naturali minori di 100, calcolo della metà e del doppio, eventualmente divisione (di 81 per 9) con numeri provvisoriamente indeterminati.

Nozioni matematiche

numero naturale, metà, doppio, somma, addizione, proporzionalità

Risultati

22.II.09

Punteggi attribuiti su 2379 elaborati di 21 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposte corrette (cesto piccolo: 9 kg, cesto medio: 18 kg, cesto grande: 36 kg e restano 18 kg) con spiegazioni complete e chiare
• 3 punti: Risposte corrette con spiegazioni incomplete o poco chiare o con sola verifica
• oppure risposte corrette per ogni cesto con spiegazione, senza indicare il peso delle castagne che restano
• 2 punti: Risposte corrette senza spiegazione
• oppure procedimento corretto, ma con un errore di calcolo durante la risoluzione
• 1 punto: Inizio di ricerca che traduce alcune relazioni tra i contenuti dei cesti o il resto
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Secondo le tabelle precedenti, circa 60% dei gruppi di allievi sono stati in grado di gestire la ripartizione di 81 proporzionalmente a 1, 2, 2, e 4.

Su un primo gruppo di un centinaio di elaborati esaminati si osserva una gran varietà di procedure. Si ritrovano quelle descritte nell’analisi del compito ma non è sempre possibile determinare se i tentativi e aggiustamenti siano stati condotti in maniera organizzata, né se la divisione per 9 scaturisca da una “equazione” che traduce la somma dei quattro termini. Quest’ultima procedura appare a partire dalla categoria 6, ma è presente soprattutto nella categoria 7.

Tra gli elaborati che partono da “9” si rilevano numerose volte frasi del tipo: 81 è un multiplo di 9” 0 “81 è il quadrato di 9”. Figurano anche numerosi disegni di cesti o rappresentazioni di quantità nei rapporti 1, 2 e 4.

Tra gli errori, figurano la divisione per 3 che conduce sovente alla risposta e 13,5; 27 e 54 per i tre cesti. La divisione per 2 conduce alla risposta 40,5; 20,25 e 10,125 con un resto di 10,125.

Ci sono anche risposte che non rispettano tutte le condizioni e conducono a 10, 20, 40 e un resto di 11.

Gli elaborati in bianco sono rari, cosa che indica una certa appropriazione della situazione. Anche sugli elaborati corrispondenti a “incomprensione del problema”, ci sono dei cesti disegnati, dei tentati vidi addizione e delle ripartizioni.

Indicazioni didattiche

La ricchezza delle osservazioni degli elaborati apre la strada a numerose utilizzazioni didattiche.

Si può facilmente immaginare che, se il problema viene proposto agli allievi della classe intera, per gruppi o individualmente, ma in autonomia e senza aiuto dell’insegnante, appariranno procedure molto diversificate che permetteranno messe in comune e dibattiti interessanti a proposito di:

- combinazione delle relazioni “doppio” o “metà” che permettono un confronto tra ognuno dei quattro pesi nei rapporti 1, 2, 2, 4,

- distributività (o messa in evidenza) che permette di passare da 1 + 2 + 2 + 4 a 9 (in “ceste piccole”),

- legami con la proporzionalità

- cambiamento del valore della variabile peso totale (da 81 a 144 per esempio, o 94,5) per verificare la permanenza del 9 nella ripartizione, dove il peso del cesto piccolo non è sempre 9 (in kg).

…