C'est le printemps

Identification

Rallye: 22.II.04 ; catégories: 3, 4, 5 ; domaine: OPN
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• DCP - Décomposer un nombre naturel
• SP - Traiter des suites proportionnelles
• SP/RIP - Effectuer des répartitions proportionnelles

Remarque et suggestion

Résumé

Décomposer 40 en somme de cinq termes, avec trois termes égaux et deux autres qui valent chacun 10 de plus que les deux premiers, dans un contexte de plantes et de pots.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Traduire la situation décrite par l’énoncé en termes d’opérations sur les nombres : somme de cinq termes, deux « petit » et trois « grands qui valent 10 de plus que les petits » dont la somme est 40.

- Organiser la recherche des nombres, soit par essais au hasard, soit par essais organisés, soit par des opérations arithmétiques en soustrayant les 20 bulbes des deux grands pots puis en divisant par cinq.

- Les savoirs mobilisés sont l’addition pour les essais, et la soustraction, la division ou multiplication lacunaire, sur des nombres naturels inférieurs à 50.

Notions mathématiques

somme, addition, termes, décomposition

Résultats

22.II.04

Points attribués sur 1501 classes de 19 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (14 bulbes dans les grands pots et 4 bulbes dans les petits pots) avec une procédure explicitée ou avec les détails des essais qui montrent l’organisation d’une recherche systématique assurant l'unicité de la solution
• 3 points: Réponse correcte, mais avec une procédure peu claire ou insuffisamment explicitée ou seulement une vérification
• 2 points: Procédure correcte, mais une erreur de calcul ou une réponse correcte sans explication
• 1 point: Début de recherche correcte
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Evolution significative des procédures de résolution de la catégorie 3 à la catégorie 5.

- Chez les plus jeunes, on voit des dessins et des additions du genre 4 + 4 + 4 + 14 + 14 qui sont des vérifications, vraisemblablement après essais successifs.

- Chez les plus âgés, la fréquence des soustractions de 20 suivies d’une division par 5 augmente sensiblement.

Exploitations didactiques

Problème caractéristique (et très fréquent parmi ceux du RMT) de décomposition d’un nombre (40) en somme de termes (5) encore à déterminer, dont on donne une relation entre eux (+10).

Les jeunes élèves, qui n’ont encore aucune notion d’algèbre, peuvent procéder par essais successifs. Il est alors intéressant de débattre de l’organisation de ces essais afin d'en limiter le nombre.

S’ils procèdent par un raisonnement déductif qui prend déjà en compte la relation entre les différents termes (+10) ils s’approchent du modèle algébrique car ils font intervenir un nombre momentanément indéterminé.

L’intérêt est alors de faire expliciter ces termes. Par exemple : « trois petits nombres et deux qui valent 10 de plus c’est comme 5 petits nombres et deux fois 10, ou 20 …» ce qui permet de faire intervenir le complément de 20 à 40 puis une division par 4 pour arriver à trouver que les trois petits nombres sont 4 et les grands 14. L’intérêt didactique du problème est de comparer les deux procédures, leurs avantages et leurs inconvénients.

On peut aussi profiter de l’occasion pour comparer les différents écritures, exclusivement additives ou avec l’apparition de multiplications, pour en faire observer les propriétés (associativité, commutativité, distributivité – évidemment sans utiliser ces termes).

Bibliographie

Repris de Les jetons (09.F.01)

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