Les hirondelles

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Rallye: 23.I.01 ; catégorie: 3 ; domaine: OPZ
Famille:

• ADZ - Additionner des nombres entiers relatifs

Remarque et suggestion

Résumé

Trouver l’état initial dans la succession de deux transformations, une diminution de 17 puis une augmentation de 12, connaissant l’état final, 36 ; dans un contexte d’hirondelles qui s’envolent et qui reviennent sur un fil électrique.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Percevoir et organiser dans l’ordre chronologique les variations entre les états successifs de la grandeur « nombre d’hirondelles » : état initial à l’ouverture de la fenêtre avec un nombre encore inconnu; départ de 11 hirondelles (première variation) et état intermédiaire plus petit que l’état initial ; arrivée de 7 hirondelles (deuxième variation) conduisant à l’état final, de 36 hirondelles, plus grand que l’état intermédiaire. Reconnaître l’objet de la question dans cette succession : l’état initial.

- Traduire les variations par des additions et soustractions et effectuer les calculs correspondants ou opérer sur des dessins ou des objets en recourant au comptage :

• soit par essais et vérifications, organisés ou non, dans l’ordre chronologique,
• soit en remontant dans le temps à partir de 36 en étant bien conscient qu’il s’agit d’utiliser les opérations réciproques des précédentes : 36 – 12 + 17 = 41,
• soit en combinant les deux variations pour n’en obtenir qu’une seule, « diminution de 5 (17 – 12) », et retour à l’état initial à partir de l’état final par une « augmentation de 5 ».

Notions mathématiques

nombres naturels, addition, somme, soustraction, différence, composition, transformation, état initial, état final

Résultats

23.I.01

Points attribués, sur 471 classes de 20 sections

Selon les critères d’attribution des points suivants :

• 4 points: Réponse correcte (41 hirondelles) avec une explication claire de la procédure suivie (par exemple, la séquence de calculs, schémas, dessins du genre bande dessinée ...)
• 3 points: Réponse correcte (41 hirondelles) avec explications peu claires ou incomplètes (par exemple un des passages d’un état à un autre non décrit dans la succession)
  ou tentatives menées correctement et bien expliquées, mais avec une seule erreur de calcul
• 2 points: Réponse correcte, sans explications
• 1 point: Début de recherche cohérente : une ou deux tentatives infructueuses ou début de raisonnement correct (par exemple calcul de 24 = 36 - 12 comme état intermédiaire)
  ou réponse ou réponse 31 avec bilan des deux variations 5, mais 36 - 5 au lieu de 36 + 5)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Les observations qui suivent sont tirées d’une première analyse a posteriori des 37 copies de Suisse romande dont la moyenne des points attribués (1,6) est très roche de la moyenne sur l’ensemble des classes.

Réponse correcte : 41 (13 copies sur 37)

Dans 7 copies, apparaissent explicitement les deux opérations 36 - 12 = 24 et 24 + 17 = 41, en ligne ou en colonnes, avec des « explications » du genre : On a compté puis on a fait un calcul ou On a lu trois fois la consigne et on a compris la consigne et on a calculé …

Une seule des copies fait état de deux essais : Au début on a mis 48 - 17 = 31 on a vu que ça marche pas on a essayé 41 – 17 = 24 \ 24 + 12 = 36.

Cinq copies font état d’une combinaison préalable des deux transformation par 17 – 12 = 5 et 36 + 5 = 41, le plus souvent écrites sous la forme 17 – 12 = 5 + 36 = 41 ou en colonnes.

Une seule copie donne la réponse 41 sans explications

Réponses 31, avec erreur « chronologique » (7 copies sur 37)

Les deux transformations sont effectuées à partir de 36 (l’état final) sans rectification du sens exigée par la démarche rétroactive. On y voit les deux opérations 36 – 17 = 19 et 19 + 12 = 31. On peut y percevoir l’un des obstacles principaux du problème : l’ignorance ou la « non conscience » que l’addition et la soustraction sont inverses l’une de l’autre ce doivent être échangées si on inverse le déroulement du temps. Le « départ » des 17 hirondelles qui se traduit par une soustraction dans le déroulement des faits qui devrait être remplacée par une addition lorsqu’on revient en arrière temporellement.

Réponses 24, avec la première transformation non prise en compte dans le « retour » à l’état initial (7 copies sur 37)

Seule la dernière transformation est prise en compte avec la prise de conscience que 36 est l’état final et que la transformation + 12 (des 12 hirondelles qui reviennent) est à soustraire de 36 puisqu’il s’agit d’un retour temporel.

L’obstacle que l’on perçoit dans cette erreur est l’incapacité de prendre en compte les deux transformations pour revenir à l’état initial mais seulement la première en partant de l’état final.

Autres réponses : (10 copies sur 37)

La majorité de ces réponses reprennent deux ou trois des nombres de l’énoncé, sans qu’il soit possible de déterminer la confusion ou l’absence d’une transformation. On trouve deux fois la somme des trois nombres de l’énoncé : 17 + 12 + 36 = 65

Exploitations didactiques

Le problème paraît bien adapté à la catégorie 3 : le tiers des copies, avec réponse juste, témoigne d’une maîtrise de la tâche et de l’organisation des opérations ; le tiers des copies avec les erreurs caractéristiques (31 et 24) témoigne d’une obstacle non encore surmonté ; le tiers restant des copies contient des bribes de procédures ou des symptômes positifs pour un engagement dans la résolution.

On peut imaginer aisément une exploitation en classe permettant des échanges entre groupes ayant abouti à des solutions différentes. Ceux-ci doivent aboutir à une explicitation du sens à donner aux deux opérations d’addition et de soustraction dans une démarche remontant dans le temps.

Les algorithmes en colonnes et leur l’opportunité de leur utilisation peuvent aussi être discutés à cette occasion

Le problème dans cette version ne demande pas d’explication préalable. Toute la lecture et l’organisation de la recherche doit pouvoir être laissée à la charge des élèves.

On peut varier la grandeur des nombres en fonction des capacités des élèves à additionner et soustraire.

Voir les nombreux autres problèmes de la famille NR / ADD dans laquelle figurent les problèmes de type « état »- « transformation » - « état », en particulier Hirondelles et colombes, avec la même structure mais avec deux sortes d’oiseaux.

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