L’escalier de la Tour Rouge

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Rallye: 23.I.02 ; catégories: 3, 4 ; domaine: OPN
Familles:

• AM - Additionner et multiplier des nombres naturels
• PER - Traiter une suite périodique

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Résumé

Trouver le nombre de termes d’une suite régulière périodique, dont la période est de trois termes (dont deux égaux) et se répète 30 fois, dans un contexte de marches d’escalier.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

Décrypter le dessin : comprendre ce que l’on dénomme « marche », que les marches se répètent par groupes de trois : deux étroites et une large, que l’escalier continue selon la même règle de construction.

Pour déterminer le nombre total de marches on peut soit:

• graphiquement dessiner l’escalier et compter les marches ou remplacer les marches par des traits, etc,
• calculer le nombre de marches larges, 30, par la division 60 : 2 ou en prenant la moitié de 60 mentalement et en additionnant ce nombre à 60.

Notions mathématiques

nombres naturels, addition, somme, multiplication, double, moitié, terme, suite, période,

Résultats

23.I.2

Points obtenus, sur 1073 classes de 20 sections

Selon les critères d’attribution des points suivants :

• 4 points: Réponse correcte (90 marches) avec une explication qui peut se limiter à une ou deux opérations bien décrites du genre 60 : 2 = 30 ou 60 + 30 ou 3 x 30, ou à un texte clair, ou à un dessin complet ou un fragment répété pour arriver à 90 marches …
• 3 points: Réponse correcte avec explications confuses
• 2 points: Réponse correcte, sans explications
  ou réponse 89 due au fait que le point d’arrivée n’est pas considéré comme la dernière marche
  ou dessin ou suite de signes correct mais erreur de dénombrement ou de calcul
• 1 point: Début de recherche cohérente, par exemple avec la perception des 30 groupes de trois marches (2 étroites et 1 large) aboutissant à 60 ou 120
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

De nombreuses escaliers dessinés (de 20 à 30 % ) sont relevés dans le copies. On trouve aussi des listes donnant le nombre de marches après chaque période de trois marches. Les erreurs sont assez rares dans cette procédure énumérative; malgré sa longueur ou l’espace pris sur une ou plusieurs feuilles. Dans de nombreux cas, le comptage par dessin ou sur une suite de traits est accompagné d’une vérification par l’addition 60 + 30 = 90.

La majorité des réponses correctes est cependant obtenue par une démarche générique : le calcul du nombre de marches larges « la moitié de 60 » ou « 60 : 2 » obtenu mentalement et l’addition 60 + 30 = 90.

L’erreur la plus fréquente est 91, avec comptage du plan de départ.

Exploitations didactiques

Comparaison des deux démarches pour se convaincre que l’une est plus économique et plus sûre que l'autre.