Le ruban

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Rallye: 23.I.08 ; catégories: 5, 6 ; domaine: OPN
Famille:

• DCP - Décomposer un nombre naturel

Remarque et suggestion

Résumé

Décomposer 140 en une somme de quatre termes dont deux sont égaux, un troisième vaut 15 de plus que les premiers et le quatrième 10 de plus que le troisième.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Trier les informations de l’énoncé et retenir celles qui seront utiles pour répondre à la question : les relations entre les quatre parties et la longueur totale.

- Se rendre compte qu’il s’agit de compléter une addition dont seule la somme est connue (140), dont les quatre termes ne sont pas encore déterminés mais dont on connaît des relations entre certains d’entre eux.

• En travaillant pas essais, les vérifications conduisent rapidement à une organisation et à la découverte de la solution : choix d’une valeur pour les deux petits, addition de 10 et de 15 pour les suivants, calcul de la somme et comparaison avec 140.
• En tenant compte des augmentations de 15 et 25 (ou 15 et 15 + 10 ou 40), une méthode déductive permet de déterminer les nombres : par soustraction de 40 à partir de 140, la somme des quatre petits nombres est 100 puis, chacun d’eux est 25 ; et on déterminer ainsi les quatre longueurs: 25, 25, 40 et 50, en cm.

Notions mathématiques

nombres naturels, addition, somme, double, décomposition

Résultats

23.I.08

Points attribués, sur 1621 classes de 21 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte et complète (25 cm, 25 cm, 40 cm, 50 cm) avec explications précises et complètes mentionnant explicitement toutes les données
• 3 points: Réponse correcte et complète mais avec explications peu claires ou insuffisamment explicites, ou seulement une vérification
• 2 points: Réponse correcte sans explications
  ou une seule erreur de calcul, avec explications et procédure cohérente
• 1 point: Début de recherche mais compréhension erronée des conditions (par exemple attribution de 15 de plus à la troisième partie et 10 de plus que les premières pour la quatrième, ce qui conduirait à 28,75 ; 28,75 ; 43,75 ; 38,75)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Parmi les réponses correctes (environ les deux tiers, auxquelles ont été attribués de 2 à 4 points) la grande majorité fait état d’une procédure par essais, en général deux ou trois. Parfois les élèves n’ont écrit qu’une vérification à partir de 25 pour les deux petits nombres.

La démarche déductive consistant à retirer les augmentations de 15 et 25 de la longueur totale puis à diviser par 4 apparaît très rarement (dans deux copies sur les 100 examinées, de la section de Suisse romande). La division de 140 par 4, qui donne 35 est plus fréquente (10% des copies). Deux cas se présente alors.

Dans le premier, les élèves soustraient 10 de 35 et obtiennent 25 et constatent que « ça marche » ; ils semble s’être rendu compte que le « 35 » est une « moyenne » et qu’il faut retrancher quelque chose pour déterminer la longueur des petites parties.

Dans le second, 35 et pris comme longueur des petites parties, les autres sont augmentées de 10 puis de 15, la somme donne 180, qui vaut 40 de plus que 180 et, après une division par 4 de l’excès de 40, les quatre parties sont réduites de 10.

Parmi les erreurs (environ 30 % des copies) la plus fréquente est d’additionner les deux augmentations de 10 et de 15, sans se rendre compte qu’il faudrait additionner 10 et (10 + 15) et de retrancher cette somme de 140, pour obtenir 115. e résultat est ensuite divisé par 2 et la réponse est 57,5 ; 57, 5) 10 et 15 dont la somme est effectivement 140.

On relève de nombreux dessins su ruban ou de segments juxtaposés, qui ne peuvent constituer des soutiens à la démarche de résolution.

Exploitations didactiques

L’exploitation de ce problème en classe devrait conduire à une réflexion collective sur les deux types de procédures : les essais ou la démarche déductive.

Pour cette version du problème, les essais conduisent très facilement à la solution. 25 étant le quart de 100 est une première approximation très plausible puisque les quatre bandes de 25 donnent déjà 100 et qu’on s’approcha ainsi de 140 avec les augmentations. Ces essais sont donc une démarche plus facile et économique que la démarche déductive. Si on veut favoriser cette dernière, il faut agir sur la variable « longueur du ruban » en choisissant un nombre moins évident, conduisant par exemple à des nombres décimaux pour les longueurs des parties.

Si on choisit les mêmes augmentations et 250 cm pour la longueur du ruban, …

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