Banque de problèmes du RMT
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Banque de problèmes du RMTop58-fr |
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Découvrir les régularités d’une grille de nombres à partir d’un fragment qui en représente les cinq premières lignes et les 11 premières colonnes, se rendre compte éventuellement qu’il s’agit de la table de multiplication et compléter quatre autres fragments rectangulaires (photos) de six à douze cases.
- Constater, d’après la photo A, incomplète, que chaque ligne et chaque colonne de la grille de nombres est constituée d’une suite « très régulière » de nombres.
- Compléter les cases vides par écrit (ou mentalement) pour mieux percevoir les régularités des suites et les liens entre cases, lignes et colonnes : reconnaître des suites de multiples, des « livrets », des progressions arithmétiques, leur ordre, … pour éventuellement y reconnaître la table de multiplication* et que chaque case contient le produit de deux nombres qui sont les numéros de sa ligne et de sa colonne.
- Aborder ensuite chaque photo incomplète en fonction des propriétés reconnues lors de l’examen de la photo A :
- Pour la photo B, l’indication que 111 se situe sur la troisième ligne signifie qu’il s’agit du troisième multiple de la 37e colonne (3 × ? = 111 ou 111 : 3 = 37) et que la colonne précédente est celle des multiples de 36.
- Pour la photo C, 198 – 187 = 11 et 204 – 187 = 17, déterminent la 11e ligne et la 17e colonne.
- Pour la photo D, 209 et 285 sont des multiples d’un même nombre, leur différence 285 – 209 = 76 vaut quatre fois ce nombre : 19 (76 : 4). Les deux nombres se situent donc sur la 19e ligne. 209 = 19 × 11 se situe dans la 11e colonne, 285 = 19 × 15 se situe dans la 15e colonne.
- Pour la photo E, on peut par exemple considérer les diviseurs de 110 (1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 11 ; 22 ; 55 ; 110) et savoir que ce nombre peut se trouver dans les lignes ou colonnes 1 et 110, 2 et 55, 5 et 22 ou 10 et 11 puis après quelques essais trouver 5 pour la colonne et 22 pour la ligne qui correspondent à la colonne 8 et à la ligne 24 pour 192.
Il y a évidemment d’autres manières de trouver les nombres manquants de chaque tableau, en cherchant les diviseurs des nombres connus, en prolongeant les progressions arithmétiques case par case, par hypothèses et vérifications, … en mobilisant les savoirs liés aux multiples, diviseurs, addition et soustraction en liaison avec la multiplication.
Remplir ensuite les quatre tableaux :
Note: Il y a ici une très légère entorse à la rigueur mathématique car on pourrait théoriquement trouver d’autres fonctions que celles de la table de multiplication, correspondant aux nombres donnés dans la grille, mais très difficiles à définir.
nombres naturels, addition, progression arithmétique, raison, multiplication, multiple, diviseur, table de multiplication, ligne, colonne, produit
Points attribués, sur 2918 classes de 21 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 6 | 679 (65%) | 194 (19%) | 106 (10%) | 45 (4%) | 23 (2%) | 1047 | 0.6 |
| Cat 7 | 405 (44%) | 171 (18%) | 139 (15%) | 128 (14%) | 82 (9%) | 925 | 1.26 |
| Cat 8 | 163 (25%) | 106 (16%) | 128 (20%) | 126 (20%) | 120 (19%) | 643 | 1.9 |
| Cat 9 | 27 (17%) | 9 (6%) | 33 (21%) | 33 (21%) | 57 (36%) | 159 | 2.53 |
| Cat 10 | 20 (14%) | 9 (6%) | 23 (16%) | 22 (15%) | 70 (49%) | 144 | 2.78 |
| Total | 1294 (44%) | 489 (17%) | 429 (15%) | 354 (12%) | 352 (12%) | 2918 | 1.31 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Le tableau ci-dessus fait état de très grandes difficultés en catégorie 6 avec deux tiers “d’incompréhension du problème” et d’une progression très sensible en catégories 7 et 8 pour arriver aux quatre photo complétées correctement par plus de la moitié des groupes de catégories 8 et 9.
Un problème comme Grille de nombres, nécessite un examen détaillé des réponses et une analyse des résultats photo par photo pour pouvoir comprendre les obstacles que les élèves ont rencontré.
Les résultats suivants sont tirés de l’analyse de 125 copies de Suisse romande : 41 de catégorie 6, 44 de catégorie 7 et 40 de catégorie 8.
Photo A
Bien que les consignes ne demandent pas de compléter les cases vides, les élèves l’ont fait à quelques exceptions près et toujours correctement, sans aucune erreur. Comme ils ne devaient pas expliquer comment ils avaient trouvé leurs réponses pour cette première reconstruction, il n’ a que de rares indices sur ce qu’ils ont vu dans cette première photo : certains parlent de « livrets » (« tabelline » en italien), d’autres de multiples, d’autres de suites logiques ; quelquefois des flèches indiquent des augmentations constantes entre les nombres d’une progression (+ 1, + 2, + 3, …) ou de 1 d’une ligne à la suivante (+ 1).
Photo B
34%, 66% et 80% de réponses correctes selon les catégories respectives 6, 7 et 8.
Une grande partie des réponses erronées sont composées de nombres assez voisins de 111 dans les cinq cases à compléter, dont de nombreux multiples de 11.
Le nombre 111 n’a pas été perçu comme le troisième de sa colonne, bien que l’énoncé précise qu’il se situe à la troisième ligne. On peut imaginer que cette « troisième ligne » a été considérée comme celle de la photo et non de la grille.
Photo C
29%, 70% et 80% de réponses correctes selon les catégories respectives 6, 7 et 8.
Dans la très grande majorité des cas, les élèves ont perçu la différence de 11 (198 – 187) pour la première ligne et de 17 (204 – 187), pour la première colonne. Ils ont ainsi trouvé 221 (204 + 17) comme troisième nombre de la première colonne, mais n’ont pas tenu compte du changement de raison en deuxième (12) et troisième (13) lignes et ont ajouté 11 aux nombres de la deuxième colonne, pour obtenir 215 (204 + 11) et 232 (221 + 11) au lieu de 216 et 234.
Ces réponses (66% en catégorie 6) ne font donc pas appel à la multiplication ni aux numéros des lignes et colonnes ; elles témoignent seulement de la perception de « suites régulières avec la même règle d’une ligne à l’autre ».
Photo D
29%, 66% et 78 % de réponses correctes selon les catégories respectives 6, 7 et 8.
Les résultats sont très proches, à quelques % près, de ceux de la photo C.
Les trois cases à compléter de la deuxième ligne le sont correctement, 228, 247 et 266, dans la grande majorité des copies : la raison de la progression. 19, est trouvée à partir de la différence entre le premier et le cinquième nombre 285 – 209 = 76 et d’une division par 4 (quatre écarts) .
C’est à la première ligne que se situent la plupart des erreurs relevées dans ces copies : les nombres successifs de cette progression diffèrent aussi de 19 au lieu de 18.
Malgré la découverte du 19, pour la deuxième ligne de la photo, les élèves n’ont pas saisi qu’il s’agissait de la 19e ligne de la grille et par conséquent que la première ligne de la photo est la 18e ligne de la grille, ni que 209 = 11 × 19 se situait dans la 11e colonne de la grille, au-dessous de 198 (209 – 11).
La répétition des additions dans la progression de la deuxième ligne de la photo ne semble pas avoir incité les élèves à mobiliser la multiplication.
Photo E
7%, 39% et 55 % de réponses correctes selon les catégories respectives 6, 7 et 8.
C’est la plus difficile des quatre photos à compléter. Il n’y a aucun indice permettant de trouver la raison d’une des progressions et la solution passe impérativement par la multiplication (l’analyse des produits).
Les 42 groupes qui ont complété correctement cette photo ont tous complété aussi les photos C et D.
On peut envisager plusieurs obstacles qui empêchent les élèves de catégories 6 et 7 de compléter les photos de cette grille de nombres. Des analyses plus détaillées, d’autres expérimentations, des interviews d’élèves seront nécessaires pour arriver à les identifier.
Quelques hypothèses sont proposées dans la rubrique Pour aller plus loin, sur les causes de ces obstacles, d’ordre didactique (en liaison avec les programmes et les pratiques didactiques de la table de multiplication), d’ordre notionnel (en analysant les liens entre addition et multiplication) ou d’ordre épistémique (en relation avec le niveau l’élève).
La table de multiplication est le « cœur » de l’arithmétique des nombres naturels ; elle illustre toutes les propriétés de l’addition et de la multiplication ainsi que les liens entre les deux opérations. Elle devrait être proposée souvent aux élèves, comme objet de contemplation puis d’observation active pour aboutir à des « découvertes » qui paraissent banales pour l’adulte mais qui sont essentielles pour l’enfant.
Par exemple :
Les différents types d’obstacles que les élèves rencontrent dans la perception de la table de multiplication ont plusieurs origines.
Institutionnellement et socialement, la table de multiplication est une référence, liée à une tradition de valorisation des connaissances mémorisées, au même titre que l’étaient le catéchisme, les exceptions grammaticale, la récitation des capitales de pays, … . Pouvoir donner immédiatement la réponse à la question combien font sept fois huit ? a été longtemps (et l’est encore) considéré comme être bon en mathématiques. L’enfant le sait car il reçoit de sa famille et de ses proches des jugements à propos de ce type de compétence.
L’école a aussi longtemps insisté sur la mémorisation des « livrets » en y consacrant un temps important de l’apprentissage des mathématiques. Cet objectif est toujours dans les programmes scolaires, reculé progressivement des toutes premières années d’école primaire pour l’échelonner de la troisième à la cinquième année.
D’un point de vue notionnel, « les livrets » n’étaient ni des suites de couples de nombres, ni des suites d’égalités, mais seulement la récitation orale et scandée de groupes de cinq mots : deux fois un font deux ; deux fois deux font quatre ; deux fois trois font six ; … Les deux premiers mots de chaque groupe étant le numéro du livret et le « fois, le troisième variant dans l’ordre de un à neuf (ou 10, 12, selon les époques et les pays).
Les réformes de l’enseignement des mathématiques de ces dernières années ont évidemment fait évoluer les « livrets » traditionnels et la manière de les présenter. On parle de « table » mais tout en la liant à un nombre « la table du 2 », on insiste moins sur la récitation orale et on utilise souvent les suites d’égalités, mais toujours avec un des facteurs constant et l’autre variant dans l’ordre, le travail de mémorisation prend des allures plus ludiques.
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