Pinocchio le fameux menteur

Identification

Rallye: 20.I.12 ; catégories: 6, 7, 8 ; domaines: OPD, FN
Familles:

• AMD - Additionner et multiplier des nombres décimaux
• CO - Chercher des arrangements ou des combinaisons
• MAC - Opérer avec des machines
• MAC/CP - Traiter la composition d'opérateurs
• SN - Traiter une suite numérique

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Résumé

Dans une une suite de cinq transformations à partir de 2 : des additions de 4, des additions de 6 et deux divisions par 2 pour la deuxième et la cinquième ; trouver le nombre des additions de 6, sachant que s’il n’y en avait eu qu’une seule le résultat final aurait été supérieur de 1,5.

Enoncé

Tâche de résolution et savoirs mobilisés

- Comprendre la situation et admettre qu'il y a peut-être plusieurs solutions ; déduire de l'énoncé que Pinocchio a dit au moins deux gros mensonges et comprendre que l'ordre dans lequel sont données les réponses a de l'importance.

- Faire l'inventaire des situations qui correspondent à un seul gros mensonge et déterminer le nombre de centimètres correspondants auquel il faudra ajouter 1,5 cm. (Par exemple, on peut disposer, le gros mensonge (G) ou (+6) en 1e questions ou en 3e ou 4e question, ces deux dernières conduisant au même résultat, lignes 2 et 3) :

  1) départ : 2	G (+6) –> 8  V (:2) –> 4  P (+4) –> 8  P (+4) –> 12  V (:2) –>  à la fin : 6 (cm)
  2) départ : 2	P (+4) –> 6  V (:2) –> 3  G (+6) –> 9  P (+4) –> 13  V (:2) –>  à la fin : 6,5 (cm)
  3) départ : 2 P (+4) –> 6  V (:2) –> 3  P (+4) –> 7  G (+6) –> 13  V (:2) –>  à la fin : 6,5 (cm)

En déduire que le nez de Pinocchio mesure 7,5 ou 8 cm.

- Envisager alors les cas avec deux gros mensonges, c’est-à-dire un seul petit mensonge qui peut être en 1e question ou en 3e ou 4e (avec le même résultat dans ces deux lignes 5 et 6)

  4) départ : 2	P (+4) –> 6  V (:2) –> 3  G (+6) –> 9  G (+6) –> 15  V (:2) –>  à la fin : 7,5 (cm)
  5) départ : 2	G (+6) –> 8  V (:2) –> 4  P (+4) –> 8  G (+6) –> 14  V (:2) –>  à la fin : 7 (cm)
  6) départ : 2	G (+6) –> 8  V (:2) –> 4  G (+6) –> 10 P (+4) –> 14  V (:2) –>  à la fin : 7 (cm)

Les 2 gros mensonges sont en 3e et 4e question, le nez a 7,5 cm, soit 1,5 de plus que 6 cm avec un gros mensonge.

- Envisager enfin le dernier cas, avec trois gros mensonges :

  7) départ : 2 G (+6) –> 8  V (:2) –> 4  G (+6) –> 10  G (+6) –> 16  V (:2) –>  à la fin : 8 (cm)

Avec 3 gros mensonges le nez a 8 cm, soit 1,5 de plus que 6,5 cm avec un seul gros mensonge à la 3e ou 4e question.

Notions mathématiques

arithmétique, combinatoire

Résultats

20.I.12

Points attribués sur 2352 classes de 24 sections:

Selon les critères déterminés lors de l’analyse a priori :

• 4 points: Réponse correcte (deux possibilités : 3 gros mensonges aux questions 1, 3 et 4 ou 2 gros mensonges aux questions 3 et 4) avec explication montrant clairement l’exhaustivité des cas possibles, avec le détail des longueurs du nez
• 3 points: Réponse correcte avec méthode peu claire (où l’on n’est pas certain que toutes les possibilités aient été envisagées)
• 2 points: Une seule possibilité trouvée avec méthode apparente
  ou deux possibilités trouvées avec le détail des longueurs mais sans préciser à quelles questions ont été dits les gros mensonges
• 1 point: Une seule possibilité trouvée avec méthode peu apparente ou mal expliquée
  ou début de recherche correcte, en particulier déduction correcte du nombre de cm à la fin (7,5 cm ou 8 cm)
• 0 point: Incompréhension du problème

Procédures, obstacles et erreurs relevés

Ce tableau montre à l’évidence que la tâche n’est pas à la portée des élèves de chacune des catégories concernée : près de 50% d’incompréhension, 2% de réponses justes et complètes.

La complexité des données ne va sans doute pas permettre d’en savoir plus sur les difficultés et obstacle par une analyse des copies.