Banca di problemi del RMT
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In una successione di trasformazioni additive (addizioni e sottrazioni) che conducono da 5 a 20 con sette addizioni di 3 e alcune sottrazioni di 2, trovare il numero di queste ultime; nel contesto del naso di Pinocchio che si allunga o si accorcia.
- Dal racconto ben noto di Pinocchio, trasformare l’enunciato in una successione di operazioni aritmetiche a partire da una lunghezza di 5 cm alla partenza, per arrivare a una lunghezza di 20 cm, con addizioni di 3 e sottrazioni di 2.
- Rendersi conto che non si conosce l’ordine secondo il quale si effettuano queste operazioni a partire da 5, ma che si sa che ci sono 7 addizioni di 3 e che bisognerà trovare il numero, ancora indeterminato, di sottrazioni di 2 per arrivare a 20.
- Utilizzare eventualmente un supporto o un modello per rappresentare la situazione; per esempio un righello sul quale segnare le diverse posizioni o delle frecce in un senso o in quello contrario.
Ci sono diversi modi di affrontare la successione dei calcoli:
- con tentativi, passo a passo, partendo da 5 ed effettuando addizioni (allungamenti) di 3 e sottrazioni (diminuzioni), per cercare di arrivare a 20 dopo sette addizioni e costatare che sono necessarie tre sottrazioni. E’ nel corso di questi tentativi che ci si può rendere conto che l’ordine delle sette addizioni e delle tre sottrazioni non influisce sul risultato (ad eccezione del caso in cui le tre sottrazioni intervenissero all’inizio, cosa non possibile da realizzare).
- nel percepire la struttura temporale degli allungamenti e delle riduzioni: calcolare che le 7 bugie corrispondono ad un allungamento di 7 × 3 = 21 (cm) che conduce a 5 + 21 = 26 (cm); calcolare la differenza 26 - 20 = 6 (cm) e cercare infine il numero delle riduzioni di 2 cm per ottenere questi 6 cm, con una divisione (6 : 2 = 3) o una moltiplicazione come frase aperta (2 × … = 6). (Questa procedura corrisponde alla risoluzione dell’equazione 5 + 21 – 2x = 20)
- la differenza di 6 cm può anche essere determinata tra l’allungamento 7 × 3 = 21 (cm) e 15 = 20 – 5 (cm) dell’aumento globale.
aritmetica, addizione, sottrazione, numero relativo, compensazione, deduzione, associatività, commutatività, composizione, trasformazione
I risultati disponibili si basano sull’analisi di circa 200 elaborati della Svizzera romanda, di sezioni italiane e della sezione di Praga analizzati da un gruppo di lavoro nell’ambito dell’incontro internazionale dell’ARMT a Siena nel 1999 (si veda la bibliografia):
Il problema è stato ben compreso e risolto correttamente in Svizzera romanda e in Italia dalla stessa percentuale di classi (circa il 70% in entrambi i paesi). Sul restante 30% circa di elaborati, i casi di incomprensione o di risposta completamente errata sono stati pochi nelle diverse regioni, ma sintomatici di errori, difficoltà o misconcezioni, ben noti alla ricerca didattica.
Il 70% delle risoluzioni corrette corrisponde globalmente ai “4 punti” e ai “3 punti”.
Points attribués sur 104 classes de 18 sections:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 3 | 11 (22%) | 4 (8%) | 2 (4%) | 11 (22%) | 22 (44%) | 50 | 2.58 |
| Cat 4 | 5 (9%) | 4 (7%) | 0 (0%) | 4 (7%) | 41 (76%) | 54 | 3.33 |
| Totale | 16 (15%) | 8 (8%) | 2 (2%) | 15 (14%) | 63 (61%) | 104 | 2.97 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
La maggior parte di procedure che hanno condotto alla risposta corretta sono di tipo aritmetico:
- una successione di addizioni e sottrazioni come, ad esempio:
5 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 26 26 - 2 = 24 24 - 2 = 22 22 - 2 = 20
- una successione di operazioni dove compaiono la moltiplicazione e la divisione, come ad esempio:
7 × 3 = 21 21 : 5 = 26 26 - 20 = 6 6 : 2 = 3
- le stesse operazioni con un uso disinvolto del segno =
7 × 3 = 21 + 5 = 26 - 20 = 6 : 2 = 3
- con una spiegazione del tipo:
In tutto dice 3 risposte sincere.
Abbiamo aggiunto ai 5 cm del naso di Pinocchio 7 volte i 3 cm, le sette volte corrispondono alle bugie e i 3 cm all’aumento della lunghezza del naso ad ogni bugia e abbiamo trovato 26 cm e ai 26 cm abbiamo tolto i 2 centimetri delle risposte sincere finché non abbiamo trovato 20. Abbiamo contato quanti 2 c’erano e abbiamo scoperto che c’erano 3 numeri due e quindi ha detto 3 risposte sincere.
La risposta corretta è stata trovata anche graficamente o con una procedura mista:
- la rappresentazione degli spostamenti su un asse graduato con dei segni indicanti le bugie e le verità, con il disegno del naso e dei suoi allungamenti, con una serie di frecce in un senso sormontate da un”+3” e altre in senso opposto sormontate da un”-2”, …
Sono state rilevate anche procedure basate su un primo calcolo della differenza fra 20 e 5 e la ricerca di una successione di addizioni di 3 e di sottrazioni di 2 per ottenere 15.
Le incomprensioni del problema sono rare. Si tratta in generale della difficoltà ad “annettere un senso” alla situazione, cioè a immaginare o a ricostruire la “storia” del naso e delle sue variazioni. Gli allievi fanno allora appello a convinzioni del tipo: un problema deve avere una soluzione o è necessario utilizzare tutti i dati ed effettuano delle operazioni con tutti i numeri che trovano nell’enunciato senza preoccuparsi della loro natura.
Per esempio: (Categoria 5)
1) 7 x 5 = 35 (bugie in tutta la giornata)
2) 35 – 20 = 15
3) 15 : 2 = 7,5 che sono le risposte sincere.
l’operazione n° 1 cioè 7 bugie dette da pinocchio per 5 la misura del naso e così ho trovato 35 bugie in tutto. Poi ho fatto l’operazione n° 2 cioè le bugie dette in tutta la giornata meno la misura del naso di pinocchio alla fine del giorno quindi il risultato, 15, è la misura di quanto è diminuito il naso di pinocchio. Infine nell’operazione n° 3 ho diviso la misura di quanto è diminuito il naso diviso 2, la misura di quanto fa accorciare il naso a ogni risposta sincera, e mi è risultato il numero di risposte sincere cioè 7,5.
Le confusioni più frequenti sono sulla natura dei numeri.
Per esempio, sottrarre numeri di bugie a misure di lunghezza in cm:
Abbiamo tolto dai 20 cm del naso di Pinocchio (alla fine della giornata) le 7 bugie che aveva detto, e il risultato è tornato 13.
Abbiamo fatto una sottrazione per assicurare che il risultato torni 7 cioè le bugie che aveva detto. Le risposte sincere di Pinocchio sono 13.
Gli errori di calcolo sono rari. C’è qualche errore dovuto a dimenticanze, a confusioni tra la lunghezza iniziale (5 cm) e quelle degli allungamenti (3 cm).
Come tutti i problemi relativi a successioni di operazioni additive, il naso di Pinocchio può essere utilizzato in classe per un confronto delle procedure di risoluzione adottate dai diversi gruppi di allievi.
L'interesse è quello di costatare che ci sono diversi modi di affrontare la risoluzione che possono andare dagli spostamenti successivi su un supporto grafico (retta dei numeri) ad una ripetizione di addizioni e di sottrazioni o ad una procedura più globale con il passaggio alla moltiplicazione e alla divisione.
L'analisi delle diverse scritture aritmetiche delle operazioni permette di sensibilizzare gli allievi alle loro proprietà: commutatività, distributività (nel passaggio dalla successione di addizioni a una moltiplicazione, o di sottrazioni successive a una divisione).
Grugnetti, L., Dupuis, C. ‘Il naso di Pinocchio, Un problema inverso di aritmetica, Le nez de Pinocchio, un problème “inverse” d'arithmétique’ In Atti delle giornate di studio sul Rally matematico transapino Siena 1999 - Neuchâtel 2000.
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