Banque de problèmes du RMT
op66-fr
|
|
Banque de problèmes du RMTop66-fr |
|
Dans une succession de six transformations additives en boucle (départ et arrivée sur un même nombre), déterminer un des nombres intermédiaires en connaissant l’un des autres nombres et chacune des transformations, dans un contexte d’altitudes d’un d’un circuit à bicyclette en six étapes.
- S’approprier les caractéristiques du parcours. Il y a six lieux, donnés dans l’ordre chronologique : Château, Musée, Moulins, Lac, Bélvédère, Café ; le retour au point de départ, les descentes et les montées.
- Comprendre que chaque lieu est caractérisé par son altitude, dont une seule est connue : Belvédère : 1077 et qu’il s’agira de retrouver les autres à partir des dénivellations ( « … plus bas », « descendre de … », « monter de … » « horizontalement ») données entre deux lieux qui se suivent dans le parcours : -116 ; 0 (puisque la route est horizontale, et que le déplacement de 2 km n’intervient pas dans les altitudes), - 165 ; + 327 (parce que « domine le lac » signifie qu’il y a eu une montée), + 145 ; -191.
- Noter ou retenir les altitudes et les dénivellations dans l’ordre par une liste ou un schéma.
- Passer au calculs, par des additions et soustractions à partir de l’altitude connue, dans un sens ou dans l’autre du parcours.
Par exemple 1077 + 145 = 1222 pour le Café, 1222 – 191 = 1033 pour le Château, 1031 – 116 = 915 pour le Musée, 915 et aussi pour les Moulins, … En remontant dans le temps les montées (additions) deviennent des descentes (soustractions) et réciproquement : 1077 – 327 = 750 pour le Lac, 750 + 165 = 915 pour les Moulins et aussi pour le Musée (et915 + 0 = 915
addition, soustraction, transformation, nombre naturel, nombre relatif, différence
Points attribués, sur 12 copies de la 2e finale internationale du RMT (15.10.2016. Le locle)
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 3 (25%) | 5 (42%) | 0 (0%) | 1 (8%) | 3 (25%) | 12 | 1.67 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Appropriation correcte de la situation et maîtrise des calculs correspondants : 4 classes
Trois classes sont arrivées à l’altitude correcte (915) en partant du Belvédère situé à 1077 mètres en remontant dans le temps (1077 – 327 + 165) ou en poursuivant jusqu’à l’arrivée/départ et redescendant au Locle (1077 + 145 – 191 – 116).
Une autre classe, remontant dans le temps, a fait une erreur de calcul (815 au lieu de 915).
Avec confusion montée-descente due au changement d’ordre temporel : 3 classes
- Une classe est partie du Belvédère dans l’ordre chronologique mais en descendant au lieu de continuer à monter (1077 – 145 – 191 = 741 pour arriver à l’arrivée/départ. Puis 741 – 115 = 625 pour arriver au Locle.
- Une classe a oublié de monter depuis le Belvédère : 1077 – 191 – 116 = 770.
- Une autre n’est pas remontés depuis le lac (1077 – 327 – 165 = 585)
Schéma correct de la position des six lieux avec les dénivellations, mais sans les calculs : 2 classes
- Une classe a pu établir un schéma correct des six lieux, dont le Belvédère à 1077 m, avec des flèches indiquant les montées et les descentes et la grandeur de la dénivellation. Mais il n’y a pas d’opérations correspondantes, comme si les nombres qui indiquent les altitudes ne sont pas reliés aux nombres indiquant les dénivellations.
- Une classe a établit un schéma suffisant avec flèches et Belvédère à 1077 m, mais là aussi, les altidudes ne sont pas reliées aux dévivellations. Il n’y a que quelques esquisses d’opérations entre dénivellations.
Incompréhensions du problème : 3 classes
- Les auteurs des deux textes suivants n’ont pas pu s’approprier la situation réelle. Les opérations ne peuvent avoir de sens. On peut supposer que ces solutions n’ont pas été discutées ou contrôlées par d’autres groupes.
Pour trouver la solution nous avons additionné les 2000 m et les 116 mètres pour comprendre que l’altitude totale est 2116. Puis nous avons divisé par 2, pour voir quelle est l’altitude des deux ensemble (2116 : 2 = 1058). Pour vérifier si c’était juste nous avons fait 1058 × 2 = 2116 et nous avons compris que c’était la bonne solution. (Per trovare la soluzione abbiamo addizionato i 2000 m con i 116 metri per capire l’altitudine totale che è 2116. Poi abbiamo diviso in 2, vedendo qual è l’altitudine di entrambi (2116 : 2 = 1058). Per verificare se è giusto abbiamo fatto 1058 × 2 = 2116 e abbiamo capito che era la soluzione giusta.)
- L’altitude du Musée des Beaux-Arts est 116 mètres et celle des Moulins souterrains est 2 km. (L’altitudine del Museo delle belle arti è di 116 metri e quello dei mulini sotterrani è di 2 km. )
- Dans cette dernière classe, il y a eu vraisemblablement des opérations avec les nombres donnés, mais le commentaire semble aussi témoigner d’une appropriation très incomplète de la situation :
- 741 et le nombre de l’altitude des Beaux-Arts et les Moulins 861 mètres. Nous avons calculé tous les chiffres. (741 è il numero della altitudine delle belle arte e i mulini 861 metri. Abbiamo calculato tutte le cifre.)
L’examen des douze copies produites par les 12 classes participantes fait apparaître les obstacles suivants :
- Perception de la situation géographique. La notion d’altitude pour des élèves de catégorie 5 n’est pas un savoir « mathématique » mais une connaissance expérimentale dépendant de la vie sociale ou issus d’un enseignement de la géographie. L’altitude, en tant que nombre caractéristique de tout endroit du monde, « tombe du ciel » pour certains élèves, qui ne peuvent pas savoir spontanément de quelle grandeur il s’agit. (une distance verticale, virtuelle, exprimée en mètres, par rapport à un point de référence conventionnel d’altitude « 0 », …). Au cours de l’appropriation de la situation, ce sont les échanges entre élèves qui peuvent faire comprendre cette notion d’altitude à ceux qui l’ignoraient.
- La représentation du parcours, présente un second obstacle. Le récit fait comprendre que le circuit est en boucle puisque le cycliste revient à son point de départ par un itinéraire de retour différent de celui de l’arrivée. Mais une représentation graphique par une courbe fermée ne permet pas de distinguer les trois composantes du circuit : le temps, la distance et l’altitude.
Dans une représentation graphique habituelle de « profil » d’un parcours, on représente l’écoulement du temps par un déplacement vers la droite (sur l’axe des abscisses) et la dénivellation par un déplacement vertical (axe des ordonnées). Même si le parcours est en boucle, le départ et l’arrivée ne coïncident pas (car ils ont lieu à des moments différents).
Voir figure 1 : Les montées et descentes sont indiquées par leur sens, en dénivellation. Le départ est à gauche. Les altitudes ne sont que relatives ; le schéma permet cependant, à partir de 1077 de revenir dans le temps par 327 vers le bas (-327) pour arriver au lac et de 165 vers le haut (+165) pour arriver aux Moulins puis au Musée, puis vers le haut (+116) pour revenir au départ, à 1031 (Cette dernière information n’était pas demandée).
Dans le « tracé » du parcours, il est possible de disposer les différents lieux selon leur altitude (hauteur sur la feuille), les flèches indiquent à la fois le sens des dénivellations et l’écoulement du temps.
Voir figure 2 : Le tracé est fermé, Voir figure 1 Les montées et descentes sont indiquées comme précédemment. Chaque point de la boucle pourrait être le départ.
figure 1 : un graphique en « profil »
figure 2 : un « tracé » du parcours
Ce n’est que lorsque ces deux obstacles sont surmontés, que les opérations arithmétiques peuvent être abordées, en tenant compte de leur ordre temporel : les montées (additions) deviennent des descentes (soustractions) et réciproquement.
Devant la diversité des niveaux d’appropriation de la situation révélée par les 12 copies examinées, le problème doit permettre des échanges fructueux lors d’une mise en commun où les élèves peuvent expliciter leur démarche et la faire percevoir à leurs camarades, mieux que par des « explications » d’adultes : le choix d’un schéma ou représentation graphique, le concept « d’altitude » de chaque lieu de l’espace (géographique), la distinction entre les nombres positifs qui indiquent l’altitude (états) et les nombres relatifs qui indiquent des dénivellations (transformations), le passage d’une addition à une soustraction, ou l’inverse, lorsqu’on modifie l’ordre temporel.
(c) ARMT, 2016-2024