Oro e pirati

Identificazione

Rally: 24.I.04 ; categorie: 3, 4 ; ambito: OPN
Famiglie:

• ADD - Cercare una somma o una differenza di numeri
• AM - Addizionare e moltiplicare numeri naturali
• DCP - Scomporre un numero naturale

Remarque et suggestion

Sunto

Scomporre 56 in una somma di otto termini di cui sei sono tutti uguali tra loro, il settimo vale 2 più di ciascuno dei primi sei e l’ottavo supera di 4 quest’ultimo.

Enunciato

Compito per la risoluzione e saperi mobilizzati

- Rendersi conto che vi sono otto persone che si spartiscono 56 monete d’oro in modo non equo.

- Rendersi conto che si tratta di completare un’addizione di cui si conosce solo la somma (56), di cui gli otto termini non sono ancora determinati, ma di cui si conoscono le relazioni tra alcuni di essi.

- Procedere per tentativi più o meno organizzati fino ad ottenere la suddivisione 6, 6, 6, 6, 6, 6, 8 e 12 o 6 × 6 + 8 +12 = 56. Oppure: procedere togliendo 2 e 6, che sono i numeri eccedenti del nostromo e del capitano, da 56, ottenere 48 e dividere poi quest’ultimo numero in 8 parti uguali. Aggiungere al risultato di quest’operazione (6) il 2 e il 6 per ottenere il numero di monete del capitano e del nostromo (8 e 12).

Oppure: dividere le 56 monete in 8 parti di 7 monete e compensare togliendo una moneta dalla parte di ognuno dei sei marinai (che ne avranno 6), e dandone una al nostromo (che ne avrà 8) e le altre cinque al capitano (che ne avrà 12). Le varie strategie possono essere illustrate da appresentazioni grafiche, più o meno corrette, che vengono però dalla risoluzione aritmetica del problema

- Un errore possibile è di suddividere le 56 monete d’oro in parti uguali tra gli otto pirati, dando 7 monete d’oro a testa.

- Un altro errore è quello di considerare che il capitano riceva solamente 4 monete d’oro più dei marinai.

- Un altro errore è di non basarsi sulle informazioni corrette nel momento della suddivisione delle 48 monete (dividere per 6 che è il numero dei marinai, piuttosto di dividere per 8 che è il numero dei pirati).

Risultati

24.I.04

Punteggi attribuiti su 1003 elaborati di 14 sezioni:

Secondo i criteri dell’analisi a priori:

• 4 punti: Risposta corretta (al capitano 12 monete, al nostromo 8 e 6 a ogni marinaio) con spiegazioni chiare e complete (calcoli: 6 × 6 + 8 + 12 = 56 o 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 8 + 12 = 56, elenco completo dei tentativi fatti ...)
• 3 punti: Risposta corretta con spiegazioni parziali o poco chiare o solamente una verifica (per esempio 6 × 6 + 8 + 12 = 56 senza spiegazione di come si sono trovati i vari termini oppure “abbiamo provato e abbiamo trovato ...”)
• 2 punti: Risposta corretta senza spiegazioni né giustificazioni
  oppure risposta errata dovuta ad un errore di calcolo, con procedura corretta
• 1 punto: Inizio di ricerca coerente
  oppure risposta errata dovuta ad una comprensione sbagliata delle condizioni (per esempio, il capitano riceve solamente 4 monete d’oro più di ognuno dei marinai)
  oppure risposta errata dovuta ad una cattiva identificazione delle variabili (per esempio, divisione di 48 in 6 parti uguali)
  oppure risposta 7 dovuta ad una suddivisione tra i pirati senza presa in conto delle condizioni
• 0 punto: Incomprensione del problema

Procedure, ostacoli ed errori rilevati

Le osservazioni che seguono sono state fatte analizzando 84 copie (37 di cat. 3 e 47 di cat. 4) della sezione della Suisse Romande.

In 4 copie si trova un ragionamento: partono dal totale delle monete d’oro, tolgono l’eccedenza del capitano e del nostromo e quindi dividono in parti uguali. Aggiungono poi le eccedenze per sapere quante sono le monete del nostromo e del capitano.

Un numero elevato di copie, sia con 4 punti sia con 3 punti, (13 in cat 3 e 13 in cat 4) porta solo i calcoli corretti che sono stati fatti, senza dare spiegazioni di come si è arrivati al risultato. In questo caso i calcoli sono solo una verifica di un ragionamento a monte che non viene esplicitato. 9 gruppi dichiarano di avere utilizzato del materiale (gettoni, cubetti del multibase …) facendo dei tentativi di distribuzione e regolando a mano a mano il risultato.

Altri (8) si aiutano con il disegno di gettoni e dei pirati e con una distribuzione iconografica.

Un gruppo divide per 5 e poi equilibra il risultato togliendo ai pirati per dare al capitano ed al nostromo fino ad ottenere il risultato corretto.

Le difficoltà evidenziate sono di diverso tipo: una parte dei gruppi commette errori di calcolo; un’altra confonde e prende il totale delle monete d’oro dei pirati a cui aggiungere la differenza per il capitano e il nostromo, con le monete che dovrebbe avere ogni pirata; altri ancora non tengono conto che al capitano ed al nostromo vanno date delle monete in più rispetto ai pirati e assegnano loro solo la differenza descritta nel problema.

Un gruppo esegue tutto correttamente, ma non distribuisce tutte le monete e dichiara che ne restano 8, senza accorgersi che avrebbero potuto essere ulteriormente distribuite una per ogni pirata.

Una decina di gruppi non capisce il problema.

Indicazioni didattiche

Il problema ha dimostrato di non essere così semplice soprattutto in categoria 3 (50% di risposte 0 o 1). Si può, in fase di appropriazione del problema, fare una verifica su quanto i vari gruppi hanno capito, mettendo a confronto le varie interpretazioni del testo per eliminare le ambiguità di lettura (il capitano e il nostromo hanno più monete d’oro degli altri pirati, le monete d’oro sono 56, il capitano ha 4 monete d’oro più del nostromo …).

Il problema è interessante perché propone una spartizione non equa, per eseguire la quale bisogna tener conto dei vincoli posti dal problema stesso. Per risolverlo si devono utilizzare calcoli (divisioni, moltiplicazioni aperte, addizioni e sottrazioni) che per i bambini di categoria 3 non sono ancora del tutto di routine e vanno quindi rinforzati.

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