Banque de problèmes du RMT
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Trouver, parmi des chameaux et des dromadaires, le nombre de chameaux connaissant le nombre de pattes, 68, et le nombre de bosses, 23.
- S'approprier la situation en comprenant que pour chaque chameau il faudra compter deux bosses et quatre pattes et pour chaque dromadaire 1 bosse et quatre pattes.
- Traduire les données en relations numériques entre les nombres d’animaux, de chameaux, de dromadaires, en commençant par le nombre d’animaux 4 × … = 68 ou 68 : 4 et en tirer qu’il y a 17 animaux.
- Trouver les nombres de chacun des deux types d’animaux, sachant que leur somme est 17 et que la somme des bosses (ou du nombre de dromadaires et du double du nombre de chameaux) est 23.
Pour résoudre ce « système d'équations » on peut procéder par essais au hasard, par essais organisés progressivement, par inventaires de tous les couples dont la somme est 17, soit par déductions du genre : si tous les animaux sont des dromadaires, il y aurait 17 bosses et il en manquerait 6 ; par conséquent il faut remplacer 6 dromadaires par 6 chameaux. Il y aura donc 6 chameaux et 11 dromadaires (vérifiant 6 + 11 = 17 et 6 × 2 + 11 = 23)
- Sans passer par les écritures arithmétiques, le problème peut aussi se résoudre par dessin uniquement. Par exemple des groupes de quatre pattes jusqu’à 68 (17 groupes), une bosse par groupe (17) et 6 bosses supplémentaires réparties sur 6 groupes pour arriver à 23.
- Rédiger la réponse sans oublier que la demande porte sur le nombre d’hommes, 6, correspondant au nombre de chameaux.
nombre naturel, addition, multiplication, division, somme, algèbre, fausse position
Points attribués, sur 1983 classes de 20 sections:
| Catégorie | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb. de classes | Moyenne |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 215 (28%) | 155 (20%) | 93 (12%) | 149 (19%) | 164 (21%) | 776 | 1.86 |
| Cat 6 | 321 (27%) | 254 (21%) | 113 (9%) | 227 (19%) | 292 (24%) | 1207 | 1.93 |
| Total | 536 (27%) | 409 (21%) | 206 (10%) | 376 (19%) | 456 (23%) | 1983 | 1.9 |
| Rappel: Le problème est résolu dans les conditions particulières du RMT: classe entière, élèves en autonomie complète, 5 à 7 problèmes à résoudre, une seule feuille de réponses par problème. | |||||||
Lors de la première passation du problème (5e RMT, 1997) les moyennes étaient plus élevées car les critères d’attribution des points étaient plus « généreux » et l’échantillon des classes plus réduit.
Les premières observations de copies d’élèves confirment les observations recueillies lors de la première passation du problème (5e RMT, 1997).
Presque toutes les copies font apparaître les 17 animaux, le plus souvent par la division 68 : 4, rarement par la multiplication 17 × 4 = 68 mais certaines fois aussi par dessin des 68 pattes par groupes de quatre (sans que le nombre « 17 » ne figure dans les explications)
Pour déterminer le nombre de chameaux et/ou de dromadaires on relève de nombreuses procédures qui conduisent à la réponse correcte
- avec quelques doutes parfois, comme dans l’exemple 1 suivant où la division est confondue avec la soustraction :
Exemple 1: On a fait 68 : 4 ce qui nous a donné 17 animaux et 23 : 17 = 6 ce qui fait 6 chameaux et 6 hommes
- par choix de la répartition la plus évidente des 23 bosses en 11 et 12, le 12 étant pair il est choisi comme le nombre de bosses des chameaux, sans mentionner d’essais ou de doutes sur cette répartition, suivi d’une vérification. Ce type d’explication se retrouve dans près d’un quart des copies analysées.
Exemple 2
- par essais, mentionnés mais pas décrits, avec souvent une vérification du genre :
6 × 4 = 24 ; 11 × 4 = 44 ; 24 + 44 = 68 11 × 1 = 11 ; 6 × 2 = 12 ; 11 + 12 = 23 - par essais explicites, hypothèses confirmées ou infirmées, suivies de corrections :
Exemple 3, où la première hypothèses, 11 chameaux est corrigée par une soustraction de 5 comme différence entre 28 et 23 :
- par raisonnement hypothético-déductif du genre : si tous les animaux étaient des chameaux on aurait 34 bosses, c’est à dire 11 de plus que 23, donc il faut remplacer 11 chameaux par 11 dromadaires ;
- par dessin des 17 animaux puis d’une bosse sur chacun d’eux et des 6 bosses manquantes ajoutées sur 6 animaux ;
- par dessin uniquement sans aucune trace de calcul ni présence de « 17 » ;
Exemple 4 : les pattes ont été dessinées par groupes de quatre jusqu’à 68, puis les bosses marquées seules ou par deux jusqu’à ce qu’on en compte 23.
L’erreur la plus fréquente est 17, obtenue après la division de 68 par 4, sans se préoccuper des bosses.
Les obstacles, pour environ 30% des groupes, sont dus à l’incapacité de prendre en compte simultanément les deux données sur les nombres de bosses et le nombre d’animaux. On relève de nombreuses confusions entre nombre d’animaux et nombre de chameaux ou nombres de dromadaires, comme si les élèves n’avaient pas saisi la partition de l’ensemble des animaux en deux sous-ensembles.
La multiplicité des procédures relevées ci-dessus permet d'en voir l'intérêt pour un travail en classe suivi d'une confrontation des solutions et de la manière de les obtenir. Le passage des essais inorganisés aux essais systématiques est caractéristique d'un progression dans la maîtrise des relations en jeu.
La procédure graphique sans aucun calcul, du genre de l’exemple 4 ci-dessus, est particulièrement intéressante du point de vue didactique : cette démarche est généralisable (sans essais ni hypothèses) et conduit de façon rigoureuse et efficace à la solution, sans faire appel aux opérations arithmétique du « programme » de mathématiques. Il faut donc l’accepter, reconnaître sa valeur et sa légitimité. Il paraîtrait fâcheux de la dénigrer ou de la considérer comme insuffisante alors qu’elle révèle seulement une saine conception de la résolution d’un problème : « pourquoi se compliquer la tâche alors qu’on peut la faire simplement ».
Ce n’est donc pas à l’adulte de dire aux enfants que la procédure graphique peut être remplacée par une procédure arithmétique faisant appel explicitement à la division et à la soustraction, c’est à eux de le constater dans un variante du problème avec des nombres plus grand faisant apparaître les limites du modèle graphique. Par exemple avec 476 pattes et 150 bosses.
Grugnetti. L., Jaquet. F. (1998). Chameaux et dromadaires. In L. Grugnetti & F. Jaquet (Eds), Actes des journées d'études sur le RMT (Vol. 1, 1e et 2e rencontres). Quels apports pour la didactique des mathématiques. Brigue 1997-98, (1999). Dipartimento di Matematica, Università di Parma & Institut de recherche et de documentation pédagogique, Neuchâtel.
Jaquet. F. (2016). 'Conditions pour la résolution de problèmes'. La Gazette de Transalpie/La Gazzetta di Transalpino (No 7)
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