Banca di problemi del RMT
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Banca di problemi del RMTop69-it |
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Trovare il numero di cammelli di una carovana di cammelli e dromedari conoscendo il numero di zampe, 52, e il numero di gobbe, 19.
- Appropriarsi della situazione e comprendere che per ciascun cammello si contano due gobbe e quattro zampe e per ciascun dromedario si contano una gobba e quattro zampe
- Tradurre i dati in relazioni numeriche iniziando con il numero degli animali, cammelli e dromedari insieme: 4 × ... = 68 oppure 68 : 4 e trovare che ci sono 17 animali
- Trovare il numero di ogni tipo di animale sapendo che il numero di tutti gli animali è 17 e la somma delle gobbe (numero dei dromedari e del doppio del numero dei cammelli) è 23
Per risolvere «questo sistema di equazioni» si può procedere per tentativi a caso, per tentativi organizzati, inventariando tutte le coppie di numeri la cui somma è 17, o deduzioni sul tipo di animale: se tutti fossero dromedari ci sarebbero 17 gobbe e ne mancherebbero 6, di conseguenza bisogna rimpiazzare 6 dromedari con 6 cammelli. Dunque ci saranno 6 cammelli e 11 dromedari (verificando 6 + 11 = 17 e 6 × 2 + 11 = 23)
- Senza passare attraverso scritture aritmetiche il problema può essere risolto soltanto con una rappresentazione grafica. Per esempio dei gruppi di quattro zampe fino ad arrivare a 68 (17 gruppi) una gobba per gruppo e 1 gobba in più in 6 gruppi per arrivare a 23.
- Scrivere la risposta senza dimenticare che la domanda richiede il numero degli uomini disegnati, 6, che corrisponde al numero di cammelli.
numero naturale, addizione, moltiplicazione, divisione, somma, algebra, falsa posizione
Punteggi attribuiti su 1983 elaborati di 20 sezioni:
| Categoria | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | Nb.classi | Media |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cat 5 | 215 (28%) | 155 (20%) | 93 (12%) | 149 (19%) | 164 (21%) | 776 | 1.86 |
| Cat 6 | 321 (27%) | 254 (21%) | 113 (9%) | 227 (19%) | 292 (24%) | 1207 | 1.93 |
| Totale | 536 (27%) | 409 (21%) | 206 (10%) | 376 (19%) | 456 (23%) | 1983 | 1.9 |
| Si ricorda che il problema è stato affrontato nelle condizioni particolari del RMT: intera classe, allievi in completa autonomia, da 5 a 7 problemi da risolvere, un solo foglio risposta per problema. | |||||||
Nel caso della prima somministrazione del problema (5e RMT, 1997), le medie erano più elevate in quanto i criteri di attribuzione dei punteggi erano più “generosi” e il campione delle classi più ridotto.
Le prime osservazioni degli elaborati degli allievi confermano le osservazioni raccolte dopo la prima somministrazione del problema (5° RMT, 1997). In quasi tutti gli elaborati appaiono i 17 animali, nella maggior parte dei casi tramite la divisione 68 : 4, raramente con la moltiplicazione 17 × 4 = 68, ma alcune volte anche con il disegno delle 48 zampe per gruppi di quattro (senza che il numero ”17” figuri nelle spiegazioni).
Si rilevano numerose procedure, per determinare il numero di cammelli e/o di dromedari, che conducono alla risposta 6 uomini:
- ancora con qualche dubbio, come nell’esempio 1 dove la divisione viene confusa con la sottrazione:
Esempio 1: Abbiamo fatto 68 : 4 che ci ha dato 17 animali e 23 : 17 = 6 che fa 6 cammelli e 6 uomini
- con scelta della ripartizione più evidente delle 23 gobbe in 11 e 12, essendo 12 pari, viene scelto come numero di gobbe dei cammelli, senza menzionare i tentativi o i dubbi su tale ripartizione, ma con una verifica. Questo tipo di spiegazione si trova in quasi un quarto degli elaborati analizzati.
Esempio 2
68 : 4 = 17 ; 23 : 1 = 23 ; 11 : 1 = 11 ; 12 : 2 = 6 ; 11 + 6 = 17 17 numero di animali 23 numero di gobbe in tutto 11 gobbe per i dromedari 12 gobbe per i cammelli, dunque ci sono 6 cammelli visto che 2 gobbe = a un cammello e ci sono anche 6 uomini.
– per tentativi, menzionati ma non descritti, con sovente una verifica del genere: 6 × 4 = 24; 11 × 4 = 44; 24 + 44 = 68 e 11 × 1 = 11; 6 × 2 = 12; 11 + 12 = 23
- per tentativi espliciti, ipotesi con fermate o inficiate, seguite da correzioni:
Esempio 3, dove la prima ipotesi, 11 cammelli è corretta tramite una sottrazione di 5 come differenza fra 28 e 23:
Ci sono 6 cammelli perché se ci fossero 11 cammelli ci sarebbero 22 gobbe 22 + 6 = 28 gobbe e invece ci sono solo 23 gobbe * Dunque ci sono solo 6 uomini
- per ragionamento ipotetico-deduttivo del genere: se tutti gli animali fossero cammelli ci sarebbero 34 gobbe, cioè 11 di più delle 23, dunque bisogna sostituire 11 cammelli con 11 dromedari;
- con disegno dei 17 animali poi di una gobba per ciascuno di essi e delle 6 gobbe mancanti su 6 animali;
- con solo disegno senza traccia di calcoli né la presenza di “17”;
Esempio 4: le zampe sono state disegnate in gruppi di quattro fino a 68, poi sono indicate le gobbe da sole o per due fino a contarne 23.
L’errore più frequente è 17, ottenuto dopo la divisione di 68 per 4, senza preoccuparsi delle gobbe.
Gli ostacoli, per circa il 30% dei gruppi, sono dovuti all’incapacità di considerare simultaneamente i due dati sul numero delle gobbe e il numero di animali. Si rilevano numerose confusioni tra il numero di animali e il numero di cammelli o numero di dromedari, come se gli allievi non avessero colto la partizione dell’insieme di animali in due sotto-insiemi.
La procedura grafica senza alcun calcolo, del tipo dell’esempio 4, riportato più sopra, è particolarmente interessante dal punto di vista didattico: questa procedura “generalizzabile” (senza tentativi e senza ipotesi) conduce in maniera rigorosa ed efficace alla soluzione, senza fare appello alle operazioni aritmetiche del “programma” di matematica. Bisogna accettarla, riconoscerne il suo valore e la sua legittimità. Sarebbe grave denigrarla o considerarla come insufficiente quando invece rivela una sana concezione di risoluzione di un problema: “perché complicarsi il compito mentre si può procedere in maniera semplice”.
Non sta all’adulto dire ai bambini che la procedura grafica può essere sostituita da una procedura aritmetica che fa appello esplicitamente alla divisione e alla sottrazione, sta a loro constatarlo nel caso di una variante del problema con numeri più grandi che facciano apparire i limiti del modello grafico. Per esempio con 476 zampe e 150 gobbe.
Grugnetti. L., Jaquet. F. (1998). Chameaux et dromadaires. In L. Grugnetti & F. Jaquet (Eds), Actes des journées d'études sur le RMT (Vol. 1, 1e et 2e rencontres). Quels apports pour la didactique des mathématiques. Brigue 1997-98, (1999). Dipartimento di Matematica, Università di Parma & Institut de recherche et de documentation pédagogique, Neuchâtel.
Jaquet. F. (2016). 'Condizioni per la risoluzione di problemi'. La Gazette de Transalpie/La Gazzetta di Transalpino (No 7)
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